Question

【題目】已知.

（1）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求m的取值范圍；

（2）求證：當(dāng)時(shí)，.

Answer 1

【答案】（1）.（2）證明見解析

【解析】

（1）依題意，當(dāng)x≥0時(shí)，恒成立.

設(shè)，則x≥0時(shí)，k(x)≥0恒成立，

若，則x>0時(shí)，，k(x)在[0，+∞)上為增函數(shù).

于是，x≥0時(shí)，k(x)≥k(0)=0.因此，符合要求.

若，則2m>1，0<x<ln(2m)時(shí)，k'(x)<0，k(x)在上為減函數(shù).

于是，.因此，不符合要求.

所以m的取值范圍為.

（2）解法一：設(shè)，則.

當(dāng)x<ln4時(shí)，g'(x)<0；當(dāng)x>ln4時(shí)，g'(x)>0

所以g(x)在(-∞，ln4]上為減函數(shù)，在[ln4，+∞)上為增函數(shù).

所以g(x)≥g(ln4)=4-4ln4.

由此可得，g(x)=ex-4x≥4-4ln4，即，

當(dāng)且僅當(dāng)x=ln4時(shí)等號成立.

所以x>0時(shí)，，

當(dāng)且僅當(dāng)x=ln4時(shí)等號成立.

設(shè)h(x)=4x-4lnx-4，則.

當(dāng)0<x<1時(shí)，h'(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，h'(x)>0.

所以h(x)在(0，1]上為減函數(shù)，在[1，+∞)上為增函數(shù).

所以h(x)≥h（1）=0，即，

當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號成立.故.

由于上述兩個(gè)等號不同時(shí)成立，因此.

所以當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>4lnx+8-8ln2.

解法二：設(shè)，

則.

由g"(x)=，知g'(x)為增函數(shù).

又g'（1）=e-4<0，g'（2）=e2-2>0，因此，g'(x)有唯一零點(diǎn)，設(shè)為x0.

則x0∈(1，2)，且0<x<x0時(shí)，g'(x)<0；x>x0時(shí)，g'(x)>0

所以g(x)在區(qū)間(0，x0]上為減函數(shù)，在區(qū)間[x0，+∞)上為增函數(shù).

所以g(x)有最小值.

又由，知，

兩邊取對數(shù)，得.

所以

.

所以當(dāng)x>0時(shí)，g(x)≥g(x0)>0，故當(dāng)x>0時(shí)，.