Question

【題目】設(shè)直線與拋物線相交于不同兩點(diǎn)、， 為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；

（2）若直線又與圓相切于點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，求直線的方程；

（3）若，點(diǎn)在線段上，滿足，求點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）2;（2）， ;（3）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意，由拋物線的方程分析可得的值，即可得答案；（2）根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，分與兩種情況討論，分析的取值，綜合可得可取的值，將的值代入直線的方程即可得答案；（3）設(shè)直線，設(shè)、，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合，由根與系數(shù)的關(guān)系分析可得答案．

試題解析：（1）∵拋物線的方程為

∴拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2

（2）設(shè)直線

當(dāng)時(shí)， 和符合題意;

當(dāng)時(shí)， 、的坐標(biāo)滿足方程組，

∴的兩根為、， ，

∴，

∴線段的中點(diǎn)

∵，

∴，得

∴，得

∵

∴（舍去）

綜上所述，直線的方程為： ，

（3）設(shè)直線，

、的坐標(biāo)滿足方程組，

∴的兩根為、

， ，

∴，得或

時(shí)，直線AB過原點(diǎn)，所以；

時(shí)，直線AB過定點(diǎn)

設(shè)

∵，

∴（），

綜上，點(diǎn)的軌跡方程為