【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,AB⊥平面BCP,CD∥平面ABP,AB=BC=CP=BP=2CD=2
(1)證明:平面ABP⊥平面ADP;
(2)若直線PA與平面PCD所成角為α,求sinα的值.
【答案】
(1)證明:取AP的中點E,PB的中點F,連結(jié)DE,EF,CF,
則EF AB,
∵CD∥平面ABP,CD平面ABCD,平面ABCD∩平面ABP=AB,
∴CD∥AB,又CD= AB,
∴EF CD,
∴四邊形DEFC是平行四邊形,∴CF∥DE,
∵AB⊥平面BCP,CF平面BCP,
∴AB⊥CF,
∵BC=CP=BP,
∴CF⊥PB,又PB∩AB=B,
∴CF⊥平面ABP,
∴DE⊥平面ABP,又DE平面ADP,
∴平面ABP⊥平面ADP.
(2))解:過P作PP′∥AB,使得PP′=2,延長CD到C′,使得CC′=2,連結(jié)AC′,AP′,C′P′,
則直三棱柱PBC﹣P′AC′所有棱長均為2,
取P′C′的中點M,連結(jié)AM,則AM⊥平面PCC′P′,
∴∠APM是直線AP與平面PCD所成的角,即∠APM=α,
∵AM= = ,PA= =2 ,
∴sinα=sin∠APM= = = .
【解析】(1)取AP的中點E,PB的中點F,連結(jié)DE,EF,CF,利用平行四邊形得出DE∥CF,通過證明CF⊥平面APB得出DE⊥平面PAB,于是平面ABP⊥平面ADP;(2)將幾何體補成直三棱柱,作出線面角,從而可求出sinα的值.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識,掌握一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直,以及對空間角的異面直線所成的角的理解,了解已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,BC邊上的高AM所在的直線方程為x-2y+1=0,∠A的平分線所在的直線方程為y=0與BC相交于點P,若點B的坐標(biāo)為(1,2).
(1)分別求AB和BC所在直線的方程;
(2)求P點坐標(biāo)和AC所在直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)求函數(shù)在點點處的切線方程;
(2)當(dāng)時,求函數(shù)的極值點和極值;
(3)當(dāng)時, 恒成立,求的取值范圍.
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【題目】下列說法正確的是( )
A. 甲、乙二人比賽,甲勝的概率為,則比賽5場,甲勝3場
B. 某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%,前9個病人沒有治愈,則第10個病人一定治愈
C. 隨機(jī)試驗的頻率與概率相等
D. 天氣預(yù)報中,預(yù)報明天降水概率為90%,是指降水的可能性是90%
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】傳承傳統(tǒng)文化再掀熱潮,我校舉行傳統(tǒng)文化知識競賽.其中兩位選手在個人追逐賽中的比賽得分如莖葉圖所示,則下列說法正確的是( )
A. 甲的平均數(shù)大于乙的平均數(shù)
B. 甲的中位數(shù)大于乙的中位數(shù)
C. 甲的方差大于乙的方差
D. 甲的平均數(shù)等于乙的中位數(shù)
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【題目】選修4﹣4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)xOy中,圓C1:x2+y2=4,圓C2:(x﹣2)2+y2=4.
(1)在以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,分別寫出圓C1 , C2的極坐標(biāo)方程,并求出圓C1 , C2的交點坐標(biāo)(用極坐標(biāo)表示);
(2)求圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)),曲線C2的參數(shù)方程為 (β為參數(shù)),以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線C1和曲線C2的極坐標(biāo)方程;
(2)已知射線l1:θ=α( <α< ),將射線l1順時針方向旋轉(zhuǎn) 得到l2:θ=α﹣ ,且射線l1與曲線C1交于兩點,射線l2與曲線C2交于O,Q兩點,求|OP||OQ|的最大值.
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【題目】在某次考試中,從甲乙兩個班各抽取10名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計分析,兩個班成績的莖葉圖如圖所示.
(Ⅰ)求甲班的平均分;
(Ⅱ)從甲班和乙班成績90100的學(xué)生中抽取兩人,求至少含有甲班一名同學(xué)的概率.
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【題目】已知長方形, , .以的中點為原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.
(1)求以、為焦點,且過、兩點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點的直線交(1)中橢圓于、兩點,是否存在直線,使得弦為直徑的圓恰好過原點?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
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