Question

如圖，F(xiàn)是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點，A，B是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率為

1

2

．點C在x軸上，BC⊥BF，B，C，F(xiàn)三點確定的圓M恰好與直線l₁：x+

3

y+3=0相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程：
（Ⅱ）過點A的直線l₂與圓M交于PQ兩點，且

MP

•

MQ

=-2，求直線l₂的方程．

Answer 1

（Ⅰ）∵F是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點，A，B是橢圓的兩個頂點，
橢圓的離心率為

1

2

，
∴

c

a

=

1

2

，∴

c2

a2

=1-

b2

a2

=

1

4

，∴b=

3

2

a，c=

1

2

a，
設F（-c，0），B（0，

3

2

a）=（0，

3

c），
∵k_BF=

b

c

=

3

，BC⊥BF，
∴k_BC=-

3

3

，∴

b

xC

=

3

3

，∴x_C=

3

b=

3

2

a•

3

=

3

2

a=3c，
∴C（3c，0），
設圓M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
把B（0，

3

c），C（3c，0），F(xiàn)（-c，0）代入，得：

3c2+ 3 cE+F=0 9c2+3cD+F=0 c2-cD+F=0

，
解得D=-2c，E=0，F(xiàn)=-3c²，
∴圓M的方程為（x-c）²+y²=4c²，
∵圓M與直線l₁：x+

3

y+3=0相切，
∴

|1×c+ 3 ×0+3|

1+3

=2c，解得c=1，
∴a=2，b=

3

，
∴所求的橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）∵A是橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1的左頂點，∴A（-2，0），
∵圓M的方程為（x-1）²+y²=1，
∴過點A斜率不存在的直線與圓不相交，
∴設直線l₂的方程為y=k（x+2），
∵

MP

•

MQ

=-2，又|

MP

|=|

MQ

|=2，
∴cos＜

MP

，

MQ

＞=

MP • MQ

| MP |•| MQ |

=-

1

2

，
∴∠PMQ=120°，
圓心M到直線l₂的距離d=

1

2

r=1，
∴

|k+2k|

k2+1

=1，解得k=±

2

4

，
∴直線l₂的方程為y=±

2

4

（x+2）．