Question

已知一個動圓與圓C：（x+4）²+y²=100相內切，且過點A（4，0），則動圓圓心的軌跡方程

x2

25

+

y2

16

=1

．

Answer 1

分析：設動圓圓心為B，圓B與圓C的切點為D，根據相內切的兩圓性質證出|CB|=10-|BD|=10-|BA|，可得|BA|+|BC|=10，
從而得到B的軌跡是以A、C為焦點的橢圓，根據橢圓的標準方程與基本概念加以計算，可得所求軌跡方程．

解答：解：設動圓圓心為B，半徑為r，圓B與圓C的切點為D，
∵圓C：（x+4）²+y²=100的圓心為C（-4，0），半徑R=10，
∴由動圓B與圓C相內切，可得|CB|=R-r=10-|BD|，
∵圓B經過點A（4，0），
∴|BD|=|BA|，得|CB|=10-|BA|，可得|BA|+|BC|=10，
∵|AC|=8＜10，
∴點B的軌跡是以A、C為焦點的橢圓，
設方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），可得2a=10，c=4，
∴a=5，b²=a²-c²=16，得該橢圓的方程為

x2

25

+

y2

16

=1．
故答案為：

x2

25

+

y2

16

=1

點評：本題給出動圓滿足的條件，求動圓圓心的軌跡方程．著重考查了圓的標準方程、圓與圓的位置關系和動點軌跡方程的求法等知識，屬于中檔題．