Question

（2009•臺(tái)州一模）已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a1=

1

2

，前n項(xiàng)和Sn=n2an．
（Ⅰ）求證：an+1=

n

n+2

an；
（Ⅱ）記b_n=lnS_n，T_n為{b_n}的前n項(xiàng)和，求e-Tn-n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由Sn=n2an①，得Sn+1=(n+1)2an+1②，②-①后整理可得結(jié)論；
（Ⅱ）利用累積法求出a_n，從而得到S_n，進(jìn)而求得b_n，T_n，利用對(duì)數(shù)恒等式可得答案；

解答：解：（Ⅰ）由Sn=n2an①，得Sn+1=(n+1)2an+1②，
②-①得：an+1=(n+1)2an+1-n2an，
整理得，an+1=

n

n+2

an．
（Ⅱ）由an+1=

n

n+2

an，得

an+1

an

=

n

n+2

，
所以an=a1×

a2

a1

×

a3

a2

×…×

an

an-1

=

1

2

×

1

3

×

2

4

×…×

n-2

n

×

n-1

n+1

=

1

n(n+1)

（n≥2），
又當(dāng)n=1時(shí)，a1=

1

2

，所以an=

1

n(n+1)

．
∴Sn=n2an=

n

n+1

，b_n=lnS_n=lnn-ln（n+1），
∴T_n=（ln1-ln2）+（ln2-ln3）+（ln3-ln4）+…+（lnn-ln（n+1））=-ln（n+1），
∴e-Tn-n=eln(n+1)-n=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由數(shù)列遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)、數(shù)列求和，考查學(xué)生邏輯推理能力、運(yùn)算能力，屬中檔題．