Question

（2009•臺州一模）已知向量

a

=（sinx，1），

b

=（t，x），若函數(shù)f（x）=

a

•

b

在區(qū)間[0，

π

2

]上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是

[-1，+∞）

．

Answer 1

分析：根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，可得f（x）=tsinx+x在區(qū)間[0，

π

2

]上是增函數(shù)．由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，得不等式
f'（x）≥0即tcosx+1≥0區(qū)間[0，

π

2

]上恒成立，結(jié)合此時cosx的值域即可得到實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答：解：∵

a

=（sinx，1），

b

=（t，x），
∴

a

•

b

=sinx•t+1•x=tsinx+x，
由此可得f（x）=

a

•

b

=tsinx+x，在區(qū)間[0，

π

2

]上是增函數(shù)，
∴f'（x）≥0區(qū)間[0，

π

2

]上恒成立，
∵對函數(shù)f（x）求導(dǎo)數(shù)，得f'（x）=tcosx+1，
∴不等式tcosx+1≥0區(qū)間[0，

π

2

]上恒成立，
結(jié)合在區(qū)間[0，

π

2

]上0≤cosx≤1，可得t≥-1
即實(shí)數(shù)t的取值范圍是：[-1，+∞）
故答案為：[-1，+∞）

點(diǎn)評：本題以向量數(shù)量積運(yùn)算為載體，求函數(shù)恒成立時實(shí)數(shù)t的取值范圍，著重考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式恒成立等知識，屬于中檔題．