【題目】如圖,已知圓柱的底面圓的半徑,圓柱的表面積為;點在底面圓上,且直線與下底面所成的角的大小為,
(1)求點到平面的距離;
(2)求二面角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)確定是直線與下底面所成的角,如圖以為坐標原點,以、分別為軸,面上過點且與垂直的線為軸,建立空間直角坐標系,求出平面的一個法向量,利用距離公式,即可求點到平面的距離;
(2)平面的一個法向量為,由(1)知平面的一個法向量,利用向量的夾角公式,即可求二面角的大小.
解:(1)設(shè),因為底面半徑,圓柱的表面積為,
所以,解得,
因為⊥底面,所以是在底面上的射影,
所以是直線與下底面所成的角,即,
在直角三角形中,,,所以,
是底面直徑,所以,
以為坐標原點,以、分別為軸,面上過點且與垂直的線為軸,建立空間直角坐標系如圖所示:
則,
于是,
設(shè)平面的一個法向量為,則,
不妨令,則,
所以到平面的距離,
所以點到平面的距離為;
(2)平面的一個法向量為,
由(1)知平面的一個法向量,
二面角的大小為,則,
由于二面角為銳角,所以二面角的大小為.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是邊長為的菱形,側(cè)面底面,,,是中點,為的中點,點在側(cè)棱上(不包括端點).
(1)求證:
(2)是否存在點,使與平面所成角的正弦值為,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù),函數(shù).
(1)當(dāng)時,若對任意恒成立,求的取值范圍;
(2)若函數(shù)有兩個不同的零點和,求的取值范圍,并證明:.
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【題目】一個不透明的箱子中裝有大小形狀相同的5個小球,其中2個白球標號分別為,,3個紅球標號分別為,,,現(xiàn)從箱子中隨機地一次取出兩個球.
(1)求取出的兩個球都是白球的概率;
(2)求取出的兩個球至少有一個是白球的概率.
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【題目】已知,是異面直線,是,外的一點,則下列結(jié)論中正確的是( )
A.過有且只有一條直線與,都垂直B.過有且只有一條直線與,都平行
C.過有且只有一個平面與,都垂直D.過有且只有一個平面與,都平行
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知A(﹣2,0),B ,M(x,y)是曲線C上的動點,且直線AM與BM的斜率之積等于.
(1)求曲線C方程;
(2)過D(2,0)的直線l(l與x軸不垂直)與曲線C交于E,F兩點,點F關(guān)于x軸的對稱點為F′,直線EF′與x軸交于點P,求△PEF的面積的取值范圍.
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【題目】△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c,已知.
(1)求角A;
(2)若,△ABC的面積為,求△ABC的周長.
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