【題目】如圖,在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為的菱形,側(cè)面底面,,,是中點(diǎn),為的中點(diǎn),點(diǎn)在側(cè)棱上(不包括端點(diǎn)).

(1)求證：

(2)是否存在點(diǎn),使與平面所成角的正弦值為,若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)存在，.

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可證得，，由線面垂直判定定理可證得平面，由線面垂直性質(zhì)證得結(jié)論；

（2）由面面垂直性質(zhì)可知平面，則以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系；設(shè)，利用向量線性運(yùn)算可求得點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)線面角的向量求法可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到結(jié)果.

（1）連接

，為中點(diǎn)

在菱形中， 為等邊三角形

平面， 平面

平面

（2）平面平面，平面平面，

平面 ，，又

則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，可建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系

則，，，

假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，設(shè)，

則

，，

設(shè)平面的法向量為

，令，則，

設(shè)與平面所成角為

則，解得：或（舍）

存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，此時(shí)

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知是橢圓上的一點(diǎn)，從原點(diǎn)向

圓作兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)在第一象限，且直線互相垂直，求圓的方程；

（2）若直線的斜率存在，并記為，求的值；

（3）試問(wèn)是否為定值？若是，求出該值；若不是，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某省確定從2021年開(kāi)始，高考采用“”的模式，取消文理分科，即“3”包括語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，為必考科目；“1”表示從物理、歷史中任選一門；“2”則是從生物、化學(xué)、地理、政治中選擇兩門，共計(jì)六門考試科目.某高中從高一年級(jí)2000名學(xué)生（其中女生900人）中，采用分層抽樣的方法抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.

（1）已知抽取的名學(xué)生中含男生110人，求的值及抽取到的女生人數(shù)；

（2）學(xué)校計(jì)劃在高二上學(xué)期開(kāi)設(shè)選修中的“物理”和“歷史”兩個(gè)科目，為了了解學(xué)生對(duì)這兩個(gè)科目的選課情況，對(duì)在（1）的條件下抽取到的n名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查（假定每名學(xué)生在這兩個(gè)科目中必須選擇一個(gè)科目且只能選擇一個(gè)科目）.下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表，請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)？

說(shuō)明你的理由；

（3）在（2）的條件下，從抽取的選擇“物理”的學(xué)生中按分層抽樣抽取6人，再?gòu)倪@6名學(xué)生中抽取2人，對(duì)“物理”的選課意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率.

附：，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】給出下列三個(gè)命題：(1)如果一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行；(2)一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個(gè)平面不相交，則這兩個(gè)平面平行；(3)一個(gè)平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行；其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )

A. 0B. 1C. 2D. 3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款面向中學(xué)生的應(yīng)用軟件．為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)。這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)題的答案：記集合．例如：，若將集合的各個(gè)元素之和設(shè)為該軟件的激活碼，則該激活碼應(yīng)為____________；

定義現(xiàn)指定，將集合的元素從小到大排列組成數(shù)列，若將的各項(xiàng)之和設(shè)為該軟件的激活碼，則該激活碼應(yīng)為_____________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了檢測(cè)某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一批零件，根據(jù)其尺寸的數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖.若尺寸落在區(qū)間()之外，則認(rèn)為該零件屬“不合格”的零件，其中，分別為樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差，計(jì)算可得：(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).

(1)若一個(gè)零件的尺寸是，試判斷該零件是否屬于“不合格”的零件；

(2)工廠利用分層抽樣的方法從樣本的前3組中抽出6個(gè)零件，標(biāo)上記號(hào)，并從這6個(gè)零件中再抽取2個(gè)，求再次抽取的2個(gè)零件中恰有1個(gè)尺寸不超過(guò)的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某中學(xué)圖書館舉行高中志愿者檢索圖書的比賽，從高一、高二兩個(gè)年級(jí)各抽取10名志愿者參賽。在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，他們檢索到的圖書冊(cè)數(shù)的莖葉圖如圖所示，規(guī)定冊(cè)數(shù)不小于20的為優(yōu)秀.

(Ⅰ) 從兩個(gè)年級(jí)的參賽志愿者中各抽取兩人，求抽取的4人中至少一人優(yōu)秀的概率；

(Ⅱ) 從高一10名志愿者中抽取一人，高二10名志愿者中抽取兩人，3人中優(yōu)秀人數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖,已知圓柱的底面圓的半徑，圓柱的表面積為；點(diǎn)在底面圓上，且直線與下底面所成的角的大小為，

(1)求點(diǎn)到平面的距離；

(2)求二面角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】過(guò)點(diǎn)作一直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，若為中點(diǎn)，則( )

A. B. C. D.

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