Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意恒成立，求的取值范圍；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)和，求的取值范圍，并證明：.

Answer 1

【答案】（1）； （2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1），由已知得，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，，求，通過(guò)判斷，得出單調(diào)性，以及，求出單調(diào)區(qū)間的極值，最值，進(jìn)而求出結(jié)論；

（2），，時(shí)，，至多一個(gè)零點(diǎn)，不成立；時(shí)，求出單調(diào)區(qū)間，極值，分析函數(shù)值的變化趨勢(shì)，求得由兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，，，設(shè)，并滿足，可得，令，則，即，要證，等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明，設(shè)，通過(guò)求導(dǎo)，再構(gòu)造函數(shù)再求導(dǎo)，可證在上單增，即可證明結(jié)論.

（1）令，當(dāng)時(shí)，.

若對(duì)任意恒成立，即為

∵，，

∴在上單調(diào)遞增，又，

∴時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

時(shí)，， 在上單調(diào)遞增，

∴，∴.

（2），，

時(shí)，，在上單增，至多一個(gè)零點(diǎn)，不成立；

時(shí)，由得，

在上單減，在上單增.

時(shí)，；時(shí)，，

要存在兩零點(diǎn)只需，即，得.

不妨設(shè)，由得，

令，則，即，而

（*）

令，，

令，，

∴在上單增，，

∴，在上單增，

，故（*）成立，得證.