Question

點P（x，y）滿足

x-y+1≥0 x+y≥0 x≤0

，點A的坐標(biāo)是（1，2），若∠AOP=θ，則|

OP

|cosθ的最大值是

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)約束條件畫出可行域，由于|

OP

|cosθ=

OA • OP

| OA |

，而

OP

•

OA

=（1，2）•（x，y）=x+2y，設(shè)z=x+2y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=x+2y過可行域內(nèi)的點B時，z最大即可．

解答：解：先根據(jù)約束條件畫出可行域，
由于|

OP

|cosθ=

OA • OP

| OA |

，
而

OP

•

OA

=（1，2）•（x，y）=x+2y，
設(shè)z=x+2y，將最大值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距最大，
當(dāng)直線z=x+2y經(jīng)過交點B（0，1）時，z最大，
最大為：2．
則|

OP

|cosθ的最大值為：

2 5

5

故答案為：

2 5

5

．

點評：本題借助于平面區(qū)域特性，用幾何方法處理代數(shù)問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想．線性規(guī)劃中的最優(yōu)解，通常是利用平移直線法確定．巧妙識別目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是我們研究規(guī)劃問題的基礎(chǔ)，縱觀目標(biāo)函數(shù)包括線性的與非線性，非線性問題的介入是線性規(guī)劃問題的拓展與延伸，使得規(guī)劃問題得以深化．