Question

已知點(diǎn)P（x，y）滿(mǎn)足

(x-1)2+(y-2)2

-

(x-4)2+(y-6)2

=5，則

y-2

x+4

的取值范圍是

[

1

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：利用雙曲線(xiàn)的定義可得其點(diǎn)P的軌跡是雙曲線(xiàn)的一支，再利用斜率的幾何意義即可得出．

解答：解：由兩點(diǎn)間的距離公式

(x-1)2+(y-2)2

表示兩點(diǎn)P（x，y）與F₁（1，2）之間的距離，同理

(x-4)2+(y-6)2

表示兩點(diǎn)P（x，y）與F₂（4，6）之間的距離．
由條件點(diǎn)P滿(mǎn)足

(x-1)2+(y-2)2

-

(x-4)2+(y-6)2

=5，如圖所示．
可知：而|F1F2|=

32+42

=5．
∴點(diǎn)P（x，y）是到兩定點(diǎn)F₁（1，2），F(xiàn)₂（4，6）的距離的差等于5一條射線(xiàn)．
而

y-2

x+4

表示過(guò)兩點(diǎn)P（x，y），（-4，2）的斜率．
令k=

y-2

x+4

，則k≥kMF2=

6-2

4-(-4)

=

1

2

．
∴

y-2

x+4

的取值范圍是[

1

2

，+∞）．
故答案為[

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：數(shù)列掌握雙曲線(xiàn)的定義和斜率的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．