【題目】如圖,在邊長為的菱形中,,現(xiàn)沿對角線把翻折到的位置得到四面體,如圖所示.已知.
(1)求證:平面平面;
(2)若是線段上的點,且,求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)取的中點,連接、,推導(dǎo)出、,利用線面垂直的判定定理得出平面,再利用面面垂直的判定定理可證得平面平面;
(2)推導(dǎo)出、、兩兩垂直,以為坐標原點,、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系,計算出向量的坐標,利用空間向量法可求得二面角的余弦值.
(1)在三棱錐中,取的中點,連接、,得到,
四邊形是菱形,,,
又,,,,
又,,,
又,,、平面,平面,
又平面,平面平面;
(2),為中點,,、、兩兩垂直,
以為坐標原點,、、所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系,
則、、、,
,,
設(shè)平面的法向量,
由,即,解得,取,則,
易知平面的一個法向量為,
.
由圖可知二面角為銳角,所以,二面角的余弦值為.
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【題目】設(shè)常數(shù),函數(shù).
(1)令時,求的最小值,并比較的最小值與零的大。
(2)求證:在上是增函數(shù);
(3)求證:當時,恒有.
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【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,G是線段AD延長線一點,,平面ABCD,,,F是線段PG的中點;
求證:平面PAC;
若時,求平面PCF與平面PAG所成二面角的余弦值.
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【題目】1642年,帕斯卡發(fā)明了一種可以進行十進制加減法的機械計算機年,萊布尼茨改進了帕斯卡的計算機,但萊布尼茲認為十進制的運算在計算機上實現(xiàn)起來過于復(fù)雜,隨即提出了“二進制”數(shù)的概念之后,人們對進位制的效率問題進行了深入的研究研究方法如下:對于正整數(shù),,我們準備張不同的卡片,其中寫有數(shù)字0,1,…,的卡片各有張如果用這些卡片表示位進制數(shù),通過不同的卡片組合,這些卡片可以表示個不同的整數(shù)例如,時,我們可以表示出共個不同的整數(shù)假設(shè)卡片的總數(shù)為一個定值,那么進制的效率最高則意味著張卡片所表示的不同整數(shù)的個數(shù)最大根據(jù)上述研究方法,幾進制的效率最高?
A. 二進制 B. 三進制 C. 十進制 D. 十六進制
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【題目】已知函數(shù)的最大值為,其圖像相鄰的兩條對稱軸之間的距離為,且的圖像關(guān)于點對稱,則下列結(jié)論正確的是( ).
A.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱
B.當時,函數(shù)的最小值為
C.若,則的值為
D.要得到函數(shù)的圖像,只需要將的圖像向右平移個單位
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【題目】田忌賽馬是史記中記載的一個故事,說的是齊國將軍田忌經(jīng)常與齊國眾公子賽馬,孫臏發(fā)也們的馬腳力都差不多,都分為上、中、下三等于是孫臏給田忌將軍制定了一個必勝策略:比賽即將開始時,他讓田忌用下等馬對戰(zhàn)公子們的上等馬,用上等馬對戰(zhàn)公子們的中等馬,用中等馬對戰(zhàn)公子們的下等馬,從而使田忌贏得公子們許多賭注假設(shè)田忌的各等級馬與某公子的各等級馬進行一場比賽獲勝的概率如表所示:
田忌的馬獲勝概率公子的馬 | 上等馬 | 中等馬 | 下等馬 |
上等馬 | 1 | ||
中等馬 | |||
下等馬 | 0 |
比賽規(guī)則規(guī)定:一次比由三場賽馬組成,每場由公子和田忌各出一匹馬出騫,結(jié)果只有勝和負兩種,并且毎一方三場賽馬的馬的等級各不相同,三場比賽中至少獲勝兩場的一方為最終勝利者.
如果按孫臏的策略比賽一次,求田忌獲勝的概率;
如果比賽約定,只能同等級馬對戰(zhàn),每次比賽賭注1000金,即勝利者贏得對方1000金,每月比賽一次,求田忌一年賽馬獲利的數(shù)學期望.
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【題目】甲乙兩人各有三張卡片,甲的卡片分別標有數(shù)字1、2、3,乙的卡片分別標有數(shù)字0、1、3.兩人各自隨機抽出一張,甲抽出的卡片上的數(shù)字記為,乙抽出的卡片上的數(shù)字記為,則與的積為奇數(shù)的概率為________.
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【題目】如圖放置的邊長為1的正方形沿軸滾動,點恰好經(jīng)過原點.設(shè)頂點的軌跡方程是,則對函數(shù)有下列判斷:①函數(shù)是偶函數(shù);②對任意的,都有;③函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減;④函數(shù)的值域是;⑤.其中判斷正確的序號是__________.
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