Question

【題目】設(shè)常數(shù)，函數(shù).

（1）令時，求的最小值，并比較的最小值與零的大小；

（2）求證：在上是增函數(shù)；

（3）求證：當(dāng)時，恒有.

Answer 1

【答案】（1）最小值為，最小值大于零.（2）證明見解析.（3）證明見解析

【解析】

（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，確定函數(shù)的解析式，再對函數(shù)求導(dǎo)，列表判斷出該函數(shù)的單調(diào)性以及極值，最后確定函數(shù)的最小值，再判斷的最小值與零的大小即可；

（2）利用（1）中的結(jié)論，可以判斷出函數(shù)的正負(fù)性，進(jìn)而能證明出的單調(diào)性；

（3）利用（2）中的結(jié)論進(jìn)行證明即可.

（1）因為，

所以.

所以，

所以，令，得.

列表如下：

		2
		0
	減	極小值	增

所以在處取得極小值，

即的最小值為，

因為，所以，

又，所以即的最小值大于零.

（2）由（1）知，的最小值為正數(shù)，

所以對一切，恒有.

從而當(dāng)時，恒有，故在上是增函數(shù).

（3）由（2）知在上是增函數(shù)，

所以當(dāng)時，.

又，

所以，即，

所以，

故當(dāng)時，恒有.