Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個不同的零點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域以及導函數(shù)，根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論，，，，可求得的單調(diào)性

（2）由（1）求得在，，，時，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，討論出零點的個數(shù)，從而求得實數(shù)的取值范圍。

解析：（1）

①，，，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減

②，或，當，，單調(diào)遞減；，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減

③，，在單調(diào)遞減

④，或，當，，單調(diào)遞減；

，，單調(diào)遞增；

，，單調(diào)遞減

（2）由（1）得當時，在定義域上只有一個零點

，由（1）可得，要使有兩個零點，則

∴

下證有兩個零點

取，，滿足，故在有且只有一個零點

，滿足，故在有且只有一個零點

當時，由（1）可得，，故在無零點，

又因為在單調(diào)遞減，

∴在至多一個零點，不滿足條件

當時，，故在上無零點，

又因為在單調(diào)遞減，∴在至多一個零點，不滿足條件

∴滿足條件的取值范圍