Question

已知向量

OP

=(x，y)，當(dāng)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件：

y≤0 y≥x 2x+y+k≥0

（k為常數(shù)）時(shí)，能使|

OP

|max=5的k值為

10

．

Answer 1

分析：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖所示的△OAB及其內(nèi)部，根據(jù)向量模的公式算出

|OA|

=|

k

2

|，

|OB|

=

2

3

|k|，可得

|OA|

＞

|OB|

．運(yùn)動(dòng)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)P，當(dāng)P與點(diǎn)A重合時(shí)|

OP

| 達(dá)到最大值，由此建立關(guān)于k的等式，解之即可得到滿足條件的k值．

解答：解：根據(jù)題意，作出不等式組

y≤0 y≥x 2x+y+k≥0

所表示的平面區(qū)域，
得到如圖所示的△OAB及其內(nèi)部，其中A（-

k

2

，0），B（-

k

3

，-

k

3

）
∵

|OA|

=

(- k 2 )2+02

=|

k

2

|，

|OB|

=

(- k 3 )2+(- k 3 )2

=

2

3

|k|，（k≠0）
∴

|OA|

＞

|OB|

，點(diǎn)P（x，y）為區(qū)域內(nèi)部一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P可得當(dāng)P與點(diǎn)A重合時(shí)，|

OP

| 達(dá)到最大值，
因此，若|

OP

|max=5，則|

OP

| =

|OA|

=|

k

2

|=5，解之得k=±10．
∵△OAB在第三象限，可得k＞0，∴k=10
故答案為：10

點(diǎn)評(píng)：本題給出二元一次不等式組，求滿足條件“|

OP

|max=5”的k值．著重考查了向量模的公式、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于中檔題．