【題目】已知函數(shù)，其中．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，求的值．

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）

【解析】

(Ⅰ)時(shí),求出導(dǎo)函數(shù),求出,將代入到中得到曲線在點(diǎn)處的切線的斜率,求出,然后利用點(diǎn)斜式求出曲線在點(diǎn)處的切線方程.

（Ⅱ）先利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)在R上有唯一零點(diǎn),且函數(shù)在上遞,在上遞增,所以函數(shù) 在 處取得最小值,再根據(jù)函數(shù)有唯一零點(diǎn)可得,然后根據(jù)以及聯(lián)立消去,得到,然后構(gòu)造函數(shù),通過(guò)導(dǎo)數(shù)的方法可得有唯一零點(diǎn),且,最后將代入到可以解得的值.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，.

.

.

又，

曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.

（Ⅱ）.

令，則.

，函數(shù)在僅有一個(gè)零點(diǎn).

存在，使得.

即存在滿足時(shí)，.

當(dāng)，即時(shí)，.

在上單調(diào)遞減；

當(dāng)，即時(shí)，.

在上單調(diào)遞增.

又當(dāng)時(shí)，，，；

當(dāng)時(shí)，，.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

由題意，函數(shù)有唯一零點(diǎn)時(shí)，必有.①

又，②

由①②消去，得.

令.，單調(diào)遞增.

又，

方程有唯一解.

將代入，解得.

當(dāng)函數(shù)有唯一零點(diǎn)時(shí)，的值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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產(chǎn)品質(zhì)量/毫克

頻數(shù)

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甲流水線

乙流水線

總計(jì)

合格品

不合格品

總計(jì)

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參考數(shù)據(jù)：

參考公式：

，其中．

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