【題目】已知數(shù)列的前項和為,且,.
(1)若數(shù)列是等差數(shù)列,且,求實數(shù)的值;
(2)若數(shù)列滿足(),且,求證:是等差數(shù)列;
(3)設數(shù)列是等比數(shù)列,試探究當正實數(shù)滿足什么條件時,數(shù)列具有如下性質:對于任意的(),都存在,使得,寫出你的探究過程,并求出滿足條件的正實數(shù)的集合.
【答案】(1);(2)詳見解析;(3).
【解析】
(1)根據(jù)等差數(shù)列由,解得, 則得a.
(2)由,解得, 由,且,,求得為奇數(shù)時與為偶數(shù)時的,利用等差數(shù)列的定義證得是等差數(shù)列.
(3)由題意, 根據(jù)對任意,都有,分別討論當時和當時,通過找反例得到數(shù)列不具有性質
又當時,通過,且,得到,證得數(shù)列具有性質.
(1)設等差數(shù)列的公差為.由,得,
解得. 則得 ,所以a=3.
(2)由,得 ,
解得, 由,且,,得
當為奇數(shù)時,;
當為偶數(shù)時,.
所以對任意,都有,當時,,
所以數(shù)列是以為首項、為公差的等差數(shù)列.
(3)由題意,
①當時,,
所以對任意,都有,
因此數(shù)列不具有性質.
②當時,,,
所以對任意,都有,
因此數(shù)列不具有性質.
③當1<a<2時,
,
,
取(表示不小于的最小整數(shù)),則,.
所以對于任意,,
即對于任意,都不在區(qū)間內(nèi),
所以數(shù)列不具有性質.
④當時,,且,
即對任意的,都有,
所以當時,數(shù)列具有性質.
綜上,使得數(shù)列具有性質的正實數(shù)的集合為.
③④的另解:
當時,單調(diào)遞增,單調(diào)遞增,且時,.
若對任意,都存在,使得,即存在在區(qū)間內(nèi).
觀察,,…,
發(fā)現(xiàn)在內(nèi)的只能是.
證明:在個區(qū)間,,…,內(nèi)需要個,
因為,,所以可選擇的只能是,共個.
由,得.
所以只需滿足恒成立,即,
得對任意都成立.
因為數(shù)列單調(diào)遞增,且,所以.
綜上,使得數(shù)列具有性質的正實數(shù)的集合為.
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【題目】如圖 ,在棱長為 a 的正方體ABCD-A1 B1C1 D1 中,E 、F 分別 是棱 AB 與BC 的中點.
(1)求二 面角 B-FB1-E 的大小;
(2)求點 D 到平面B1EF 的距離;
(3)在棱 DD1 上能否找到一點 M, 使 BM ⊥平面EFB1 ? 若能, 試確定點 M 的位置;若不能, 請說明理由.
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【題目】為了紀念“一帶一路”倡議提出五周年,某城市舉辦了一場知識競賽,為了了解市民對“一帶一路”知識的掌握情況,從回收的有效答卷中按青年組和老年組各隨機抽取了40份答卷,發(fā)現(xiàn)成績都在內(nèi),現(xiàn)將成績按區(qū)間,,,,進行分組,繪制成如下的頻率分布直方圖.
青年組
中老年組
(1)利用直方圖估計青年組的中位數(shù)和老年組的平均數(shù);
(2)從青年組,的分數(shù)段中,按分層抽樣的方法隨機抽取5份答卷,再從中選出3份答卷對應的市民參加政府組織的座談會,求選出的3位市民中有2位來自分數(shù)段的概率.
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【題目】已知拋物線:的焦點為,點為上異于頂點的任意一點,過的直線交于另一點,交軸正半軸于點,且有,當點的橫坐標為3時,為正三角形.
(1)求的方程;
(2)若直線,且和相切于點,試問直線是否過定點,若過定點,求出定點坐標;若不過定點,說明理由.
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【題目】某機構為了解某地區(qū)中學生在校月消費情況,隨機抽取了100名中學生進行調(diào)查.右圖是根據(jù)調(diào)查的結果繪制的學生在校月消費金額的頻率分布直方圖.已知[350,450),[450,550),[550,650)三個金額段的學生人數(shù)成等差數(shù)列,將月消費金額不低于550元的學生稱為“高消費群” .
(1)求m,n的值,并求這100名學生月消費金額的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表,并判斷能否有90%的把握認為“高消費群”與性別有關?
高消費群 | 非高消費群 | 合計 | |
男 | |||
女 | 10 | 50 | |
合計 |
(參考公式:,其中)
P() | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】已知.
(1)若的兩根分別為某三角形兩內(nèi)角的正弦值,求m的取值范圍;
(2)問是否存在實數(shù)m,使得的兩根是直角三角形兩個銳角的正弦值.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,,,點F、E分別是BC、CD的中點,現(xiàn)沿AE將折起,使點D至點M的位置,且.
(1)證明:平面MEF;
(2)求二面角的大小.
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【題目】技術員小張對甲、乙兩項工作投入時間(小時)與做這兩項工作所得報酬(百元)的關系式為:,若這兩項工作投入的總時間為120小時,且每項工作至少投入20小時.
(1)試建立小張所得總報酬(單位:百元)與對乙項工作投入的時間(單位:小時)的函數(shù)關系式,并指明函數(shù)定義域;
(2)小張如何計劃使用時間,才能使所得報酬最高?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)有小學21所,中學14所,大學7所,現(xiàn)采取分層抽樣的方法從這些學校中抽取6所學校對學生進行視力調(diào)查。
(I)求應從小學、中學、大學中分別抽取的學校數(shù)目。
(II)若從抽取的6所學校中隨機抽取2所學校做進一步數(shù)據(jù)分析,
(1)列出所有可能的抽取結果;
(2)求抽取的2所學校均為小學的概率。
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