【題目】已知函數(shù),且x=0是f(x)的極值點.
(1)求f(x)的最小值;
(2)是否存在實數(shù)b,使得關(guān)于x的不等式ex<bx+f(x)在(0,+∞)上恒成立?若存在,求出b的取值范圍;若不存在,說明理由.
【答案】(1)1(2)存在;b的范圍為[1,+∞)
【解析】
(1)由已知結(jié)合極值存在條件可求m,然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)單調(diào)性及最值的關(guān)系即可求解;
(2)由已知不等式代入整理可得,可考慮構(gòu)造函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系對b進(jìn)行分類討論可求.
解:(1),
由x=0是f(x)的極值點可得10,即m=1,經(jīng)檢驗m=1符合題意,
,
設(shè)g(x)=ex(x+1)﹣1,則g′(x)=ex(x+2)>0在x>﹣1時恒成立,
故g(x)在(﹣1,+∞)上單調(diào)遞增且g(0)=0,
所以,當(dāng)x>0時,g(x)>0即f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)﹣1<x<0時,g(x)<0即f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,
故當(dāng)x=0時,f(x)取得最小值f(0)=1;
(2)由ex<bx+f(x)在(0,+∞)上恒成立可得,
設(shè),則需要,
又,
(i)若b≥1,則x>0時,0,h(x)單調(diào)遞減,
所以h(x)<h(0)=0,符合題意,
(ii)若b≤0,則x>0時,0,h(x)單調(diào)遞增,h(x)>h(0)=0,不符合題意,
(iii)若0<b<1,令,得x,
當(dāng)x時,h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,此時h(x)>h(0)=0,不滿足題意,
綜上,b的范圍[1,+∞).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,定義:以橢圓中心為圓心,長軸為直徑的圓叫做橢圓的“輔助圓”.過橢圓第四象限內(nèi)一點M作x軸的垂線交其“輔助圓”于點N,當(dāng)點N在點M的下方時,稱點N為點M的“下輔助點”.已知橢圓E:上的點的下輔助點為(1,﹣1).
(1)求橢圓E的方程;
(2)若△OMN的面積等于,求下輔助點N的坐標(biāo);
(3)已知直線l:x﹣my﹣t=0與橢圓E交于不同的A,B兩點,若橢圓E上存在點P,滿足,求直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:(a>b>0)經(jīng)過點(﹣2,0)和,橢圓C上三點A,M,B與原點O構(gòu)成一個平行四邊形AMBO.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若點B是橢圓C左頂點,求點M的坐標(biāo);
(3)若A,M,B,O四點共圓,求直線AB的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值.
(2),若不等式在上恒成立,求的最大值.
(3)是否存在實數(shù),使得函數(shù)在上的值域為?如果存在,請給出證明;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知衡量病毒傳播能力的最重要指標(biāo)叫做傳播指數(shù)RO.它指的是,在自然情況下(沒有外力介入,同時所有人都沒有免疫力),一個感染到某種傳染病的人,會把疾病傳染給多少人的平均數(shù).它的簡單計算公式是:確認(rèn)病例增長率系列間隔,其中系列間隔是指在一個傳播鏈中,兩例連續(xù)病例的間隔時間(單位:天).根據(jù)統(tǒng)計,確認(rèn)病例的平均增長率為,兩例連續(xù)病例的間隔時間的平均數(shù)為天,根據(jù)以上RO數(shù)據(jù)計算,若甲得這種傳染病,則輪傳播后由甲引起的得病的總?cè)藬?shù)約為( )
A.B.C.D.
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【題目】新型冠狀病毒蔓延以來,世界各國都在研制疫苗,某專家認(rèn)為,某種抗病毒藥品對新型冠狀病毒具有抗病毒、抗炎作用,假如規(guī)定每天早上7:00和晚上7:00各服藥一次,每次服用該藥藥量700毫克具有抗病毒功效,若人的腎臟每12小時從體內(nèi)濾出這種藥的70%,該藥在人體內(nèi)含量超過1000毫克,就將產(chǎn)生副作用,若人長期服用這種藥,則這種藥__________(填“會”或者“不會”)對人體產(chǎn)生副作用.
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【題目】分形幾何是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué),科赫曲線是比較典型的分形圖形,1904年瑞典數(shù)學(xué)家科赫第一次描述了這種曲線,因此將這種曲線稱為科赫曲線.其生成方法是:(I)將正三角形(圖(1))的每邊三等分,以每邊三等分后的中間的那一條線段為一邊,向形外作等邊三角形,并將這“中間一段”去掉,得到圖(2);(II)將圖(2)的每邊三等分,重復(fù)上述的作圖方法,得到圖(3);(Ⅲ)再按上述方法繼續(xù)做下去……,設(shè)圖(1)中的等邊三角形的邊長為1,并且分別將圖(1)、圖(2)、圖(3)、…、圖(n)、…中的圖形依次記作,,,…,,…,設(shè)的周長為,則為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),給出以下四個命題:
①的圖象關(guān)于軸對稱;
②在上是減函數(shù);
③是周期函數(shù);
④在上恰有兩個零點.
其中真命題的序號是______.(請寫出所有真命題的序號)
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線,曲線(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求的極坐標(biāo)方程;
(2)射線的極坐標(biāo)方程為,若分別與交于異于極點的兩點,求的最大值.
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