【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值.
(2),若不等式在上恒成立,求的最大值.
(3)是否存在實數(shù),使得函數(shù)在上的值域為?如果存在,請給出證明;如果不存在,請說明理由.
【答案】(1)極大值沒有極小值;(2)最大值為;(3)存在,見解析
【解析】
(1)先求出,令,再列表討論的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而可求出函數(shù)的極值;(2)根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)并判斷單調(diào)性,進(jìn)而可求出的最大值;
(3)由(1)知,當(dāng)時,,得,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可猜想,存在實數(shù)符合題意,其中,為的圖象與直線在上的交點的橫坐標(biāo),再證明在上只有一個實數(shù)解即可.
(1),其定義域為,
求導(dǎo)得.
令,得.
的關(guān)系列表如下:
1 | |||
+ | 0 | ||
↗ | 極大值 | ↘ |
因此,當(dāng)時,取得極大值沒有極小值.
(2),
因為在上恒成立,
所以在上恒成立,
設(shè),
則原問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立.
,
令,解得.
的關(guān)系列表如下:
+ | 0 | ||
↗ | 極大值 | ↘ |
所以只需,故的最大值為.
(3)存在實數(shù),滿足題意.
證明如下:
由(1)知,當(dāng)時,,
所以,即,注意到在上單調(diào)遞減,
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可猜想,存在實數(shù)符合題意,其中,為的圖象與直線在上的交點的橫坐標(biāo).
故只需證明方程在上只有一個實數(shù)解.
令,則,
令,得,因為,所以只有成立.
的關(guān)系列表如下:
+ | 0 | ||
↗ | 極大值 | ↘ |
因為,所以當(dāng)時,,
又,
所以存在,使得,滿足,
因為函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以方程在上只有一個實數(shù)解.
綜上所述,存在實數(shù),使得函數(shù)在上的值域為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中是自然對數(shù)的底數(shù))).
(1)若是函數(shù)的極值點,求實數(shù)的值并討論的單調(diào)性;
(2)若,函數(shù)有兩個零點,,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某調(diào)查機(jī)構(gòu)對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計,得到整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖(如圖①)、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖(如圖②),則下列結(jié)論中不一定正確的是( )
注:90后指1990年及以后出生,80后指1980~1989年之間出生,80前指1979年及以前出生.
A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上
B.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%
C.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運營崗位的人數(shù)90后比80前多
D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解某高校全校學(xué)生的閱讀情況,隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生每周閱讀時間(單位:小時)并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求這200名學(xué)生每周閱讀時間的樣本平均數(shù)和中位數(shù)(的值精確到0.01);
(2)為查找影響學(xué)生閱讀時間的因素,學(xué)校團(tuán)委決定從每周閱讀時間為,的學(xué)生中抽取9名參加座談會.你認(rèn)為9個名額應(yīng)該怎么分配?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間情況;
(2)若函數(shù)有且只有兩個零點,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且x=0是f(x)的極值點.
(1)求f(x)的最小值;
(2)是否存在實數(shù)b,使得關(guān)于x的不等式ex<bx+f(x)在(0,+∞)上恒成立?若存在,求出b的取值范圍;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:過點,、分別為橢圓C的左、右焦點且
(1)求橢圓C的方程;
(2)直線平行于OP(O為原點),且與橢圓C交于兩點A、B,與直線x=2交于點M(M介于A、B兩點之間).
(I)當(dāng)△PAB面積最大時,求的方程;
(II)求證:.
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