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【題目】已知函數.

（1）求函數的極值；

（2）若，試討論關于的方程的解的個數，并說明理由.

【答案】（1）當時，函數無極值，當時，函數有極小值，無極大值；

（2）方程有唯一解.

【解析】

試題分析：（1）求出函數定義域，求導，令.利用導函數的符號，判斷函數的單調性，求

出函數的極值；（2）令，對其求導，分為和兩種情形，根據導數與的關系，判斷函數的單調性，根據其大致圖象得到其與軸的交點分數，故而得到方程解的個數.

試題解析：（1）依題意得，，，

當時，，故函數在上單調遞增，無極值；

當時，，

令，得，函數單調遞減，

令，得，函數單調遞增，

故函數有極小值.

綜上所述，當時，函數無極值；當時，函數有極小值，無極大值.

（2）令，，問題等價于求函數的零點個數.

易得.

①若，則，函數為減函數，

注意到，，所以有唯一零點；

②若，則當或時，，當時，，

所以函數在和上單調遞減，在上單調遞增，

注意到，，所以有唯一零點.

綜上，若，函數有唯一零點，即方程有唯一解.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，其中.

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）當時，求函數的單調區(qū)間與極值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若數列滿足（； ， ），稱數列為數列，記為其前項和.

（Ⅰ）寫出一個滿足，且的數列；

（Ⅱ）若， ，證明：若數列是遞增數列，則；反之，若，則數列是遞增數列；

（Ⅲ）對任意給定的整數（），是否存在首項為0的數列，使得？如果存在，寫出一個滿足條件的數列；如果不存在，說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】劉徽是我國魏晉時期著名的數學家，他編著的《海島算經》中有一問題：“今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直。從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合。從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合。問島高幾何?” 意思是：為了測量海島高度，立了兩根表，高均為5步，前后相距1000步，令后表與前表在同一直線上，從前表退行123步，人恰觀測到島峰，從后表退行127步，也恰觀測到島峰，則島峰的高度為（ ）（注：3丈=5步，1里=300步）

A. 4里55步 B. 3里125步 C. 7里125步 D. 6里55步

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數．

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）討論函數的單調區(qū)間．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某科研小組研究發(fā)現：一棵水蜜桃樹的產量（單位：百千克）與肥料費用（單位：百元）滿足如下關系：，且投入的肥料費用不超過5百元.此外，還需要投入其他成本（如施肥的人工費等）百元.已知這種水蜜桃的市場售價為16元/千克（即16百元/百千克），且市場需求始終供不應求.記該棵水蜜桃樹獲得的利潤為（單位：百元）.

（1）求利潤函數的函數關系式，并寫出定義域；

（2）當投入的肥料費用為多少時，該水蜜桃樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】下列正確命題有__________．

①“”是“”的充分不必要條件

②如果命題“”為假命題，則中至多有一個為真命題

③設，若，則的最小值為

④函數在上存在，使，則a的取值范圍或.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數相鄰兩對稱軸間的距離為，若將的圖像先向左平移個單位，再向下平移1個單位，所得的函數為奇函數.

（1）求的解析式，并求的對稱中心；

（2）若關于的方程在區(qū)間上有兩個不相等的實根，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在中，分別為角的對邊，設.

(1)若，且，求角的大��；

(2)若，求角的取值范圍.

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