Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，1）、（0，﹣1），動(dòng)點(diǎn)P滿足直線AP與直線BP的斜率之積為，直線AP、BP與直線y＝﹣2分別交于點(diǎn)M、N．

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

（2）求線段MN的最小值；

（3）以MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（x≠0）．（2）4．（3）是，定點(diǎn)（0，﹣2+2）或（0，﹣2﹣2）．

【解析】

(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn),再根據(jù)斜率之積化簡(jiǎn)方程即可.

(2)分別設(shè)關(guān)于的的方程,再聯(lián)立求解的坐標(biāo),進(jìn)而求得關(guān)于的解析式,再利用化簡(jiǎn),利用基本不等式求解最小值即可.

(3)根據(jù)題意可知,再進(jìn)行根據(jù)滿足橢圓的方程代入化簡(jiǎn)求解即可.

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x,y）,∵A（0,1）,B（0,﹣1）,

∴直線AP的斜率k1,直線BP的斜率,

又k1k2,∴,

∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（x≠0）．

（2）設(shè)直線AP的方程為y﹣1＝k1（x﹣0）,

直線BP的方程為y+1＝k2（x﹣0）,

由,得,∴M（）,

由,得,∴N（,﹣2）,

由,得|MN|＝||＝||4,

當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,

∴線段MN長(zhǎng)的最小值為4．

（3）設(shè)點(diǎn)Q（x,y）是以MN為直徑的圓的任意一點(diǎn),則,

即,

又k1k2,

∴以MN為直徑的圓的方程為,

令x＝0,得（y+2）2＝12,解得y＝﹣2,

∴以MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)（0,﹣2+2）或（0,﹣2﹣2）．