Question

【題目】已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段與軸的交點(diǎn)滿足．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）圓是以為直徑的圓，一直線與圓相切，并與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，當(dāng)，且滿足時，求的面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）先利用平面向量共線得到是線段的中點(diǎn)，再利用三角形的中位線和待定系數(shù)法進(jìn)行求解；（Ⅱ）先利用直線與圓相切得到，再聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，再利用平面向量的數(shù)量積和判別式為正、三角形的面積公式得到有關(guān)表達(dá)式，再利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?/span>，所以 是線段的中點(diǎn)，所以是的中位線，又所以,所以，又因?yàn)?/span> ，

解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）因?yàn)橹本�與相切，所以，即

聯(lián)立得.

設(shè)

因?yàn)橹本�與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，

所以，

，

，又因?yàn)?/span>，所以

解得.

，

設(shè)，則單調(diào)遞增，

所以，即