Question

【題目】已知橢圓C： 的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，且過點．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過作兩條直線與圓相切且分別交橢圓于M、N兩點．

① 求證：直線MN的斜率為定值；

② 求△MON面積的最大值（其中O為坐標原點）．

Answer 1

【答案】（1）（2）① ②

【解析】試題分析：（1）先求雙曲線離心率得橢圓離心率，再將點坐標代入橢圓方程，解方程組得，（2）①先根據(jù)點斜式得直線方程，再與橢圓方程聯(lián)立解得坐標，根據(jù)直線與圓相切，得斜率相反，同理可得最后根據(jù)斜率公式求斜率，②設直線MN方程，根據(jù)原點到直線距離得高，與橢圓方程聯(lián)立方程組結(jié)合韋達定理以及弦長公式得底邊邊長，最后代入三角形面積公式，利用基本不等式求最值.

試題解析：（1）可得，設橢圓的半焦距為，所以，

因為C過點，所以，又，解得，

所以橢圓方程為．　　　　　　　　　　　　　

（2）① 顯然兩直線的斜率存在，設為， ，

由于直線與圓相切，則有，

直線的方程為， 聯(lián)立方程組

消去，得，　　

因為為直線與橢圓的交點，所以，

同理，當與橢圓相交時， ，

所以，而，

所以直線的斜率．　　　　　　　

② 設直線的方程為，聯(lián)立方程組消去得，

所以，

原點到直線的距離，　　　　　　　　

面積為，

當且僅當時取得等號．經(jīng)檢驗，存在（），使得過點的兩條直線與圓相切，且與橢圓有兩個交點M，N．

所以面積的最大值為．