【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線切于點(diǎn),求的值;
(Ⅲ)若恒成立,求的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:(1)先明確函數(shù)定義域,再求函數(shù)導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定單調(diào)區(qū)間,(2)由導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率為,則得, .即得(3)不等式恒成立問(wèn)題,一般轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問(wèn)題:先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值: 當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增. 僅當(dāng)時(shí)滿足條件,此時(shí);當(dāng)時(shí), 先減后增, ,再變量分離轉(zhuǎn)化為,最后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)
最值,可得的最大值.
試題解析:解:(Ⅰ) ,則.
令得,所以在上單調(diào)遞增.
令得,所以在上單調(diào)遞減.
(Ⅱ)因?yàn)?/span>,所以,所以的方程為.
依題意, , .
于是與拋物線切于點(diǎn),
由得.
所以
(Ⅲ)設(shè),則恒成立.
易得
(1)當(dāng)時(shí),
因?yàn)?/span>,所以此時(shí)在上單調(diào)遞增.
①若,則當(dāng)時(shí)滿足條件,此時(shí);
②若,取且
此時(shí),所以不恒成立.
不滿足條件;
(2)當(dāng)時(shí),
令,得由,得;
由,得
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
要使得“恒成立”,必須有
“當(dāng)時(shí), ”成立.
所以.則
令則
令,得由,得;
由,得所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所以,當(dāng)時(shí),
從而,當(dāng)時(shí), 的最大值為.
綜上, 的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)為,且圖象在軸上截得的線段長(zhǎng)為8.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)令.
(。┣蠛瘮(shù)在上的最小值;
(ⅱ)若時(shí),不等式恒成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知對(duì)數(shù)函數(shù)過(guò)點(diǎn),.
(1)求的解析式,并指出的定義域;
(2)設(shè),求函數(shù)的零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著節(jié)能減排意識(shí)深入人心,共享單車在各大城市大范圍推廣,越來(lái)越多的市民在出行時(shí)喜歡選擇騎行共享單車.為了研究廣大市民在共享單車上的使用情況,某公司在我市隨機(jī)抽取了100名用戶進(jìn)行調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):
每周使用次數(shù) | 1次 | 2次 | 3次 | 4次 | 5次 | 6次及以上 |
男 | 4 | 3 | 3 | 7 | 8 | 30 |
女 | 6 | 5 | 4 | 4 | 6 | 20 |
合計(jì) | 10 | 8 | 7 | 11 | 14 | 50 |
(1)如果用戶每周使用共享單車超過(guò)3次,那么認(rèn)為其“喜歡騎行共享單車”.請(qǐng)完成下面的2×2列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.05的前提下,認(rèn)為是否“喜歡騎行共享單車”與性別有關(guān);
不喜歡騎行共享單車 | 喜歡騎行共享單車 | 合計(jì) | |
男 | |||
女 | |||
合計(jì) |
(2)每周騎行共享單車6次及6次以上的用戶稱為“騎行達(dá)人”,將頻率視為概率,在我市所有的“騎行達(dá)人”中隨機(jī)抽取4名,求抽取的這4名“騎車達(dá)人”中,既有男性又有女性的概率.
附表及公式:,其中;
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓,若在,,,四個(gè)點(diǎn)中有3個(gè)在上.
(1)求橢圓的方程;
(2)若點(diǎn)與點(diǎn)是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn),且,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是一種反映和評(píng)價(jià)空氣質(zhì)量的方法,AQI指數(shù)與空氣質(zhì)量對(duì)應(yīng)如表所示:
AQI | 0~50 | 51~100 | 101~150 | 151~200 | 201~300 | 300以上 |
空氣質(zhì)量 | 優(yōu) | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴(yán)重污染 |
如圖是某城市2018年12月全月的AQI指數(shù)變化統(tǒng)計(jì)圖:
根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖判斷,下列結(jié)論正確的是( 。
A. 整體上看,這個(gè)月的空氣質(zhì)量越來(lái)越差
B. 整體上看,前半月的空氣質(zhì)量好于后半個(gè)月的空氣質(zhì)量
C. 從AQI數(shù)據(jù)看,前半月的方差大于后半月的方差
D. 從AQI數(shù)據(jù)看,前半月的平均值小于后半月的平均值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD⊥平面PCD,PD⊥CD,底面ABCD是梯形,AB∥DC,AB=AD=PD=1,CD=2AB, 為棱PC上一點(diǎn).
(Ⅰ)若點(diǎn)是PC的中點(diǎn),證明:B∥平面PAD;
(Ⅱ) 試確定的值使得二面角-BD-P為60°.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】當(dāng)生物死亡后,其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半,這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.2019年7月6日,第43屆世界遺產(chǎn)大會(huì)宣布,中國(guó)良渚古城遺址成功申遺,獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄.目前中國(guó)世界遺產(chǎn)總數(shù)已達(dá)55處,位居世界第一.今年暑期,某中學(xué)的“考古學(xué)”興趣小組對(duì)良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料(草裹泥)上提取的草莖遺存進(jìn)行碳14年代學(xué)檢測(cè),檢測(cè)出碳14的殘留量約為初始量的54%.利用參考數(shù)據(jù):,請(qǐng)你推斷上述所提取的草莖遺存物距今大約有_______________________年(精確到1年).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一則“清華大學(xué)要求從 2017級(jí)學(xué)生開始,游泳達(dá)到一定標(biāo)準(zhǔn)才能畢業(yè)”的消息在體育界和教育界引起了巨大反響.其實(shí),已有不少高校將游泳列為必修內(nèi)容.
某中學(xué)擬在高一-下學(xué)期開設(shè)游泳選修課,為了了解高--學(xué)生喜歡游泳是否與性別有關(guān),該學(xué)校對(duì)100名高一新生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,得到如下列聯(lián)表:
喜歡游泳 | 不喜歡游泳 | 合計(jì) | |
男生 | 40 | ||
女生 | 30 | ||
合計(jì) |
已知在這100人中隨機(jī)抽取1人,抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為.
(1).請(qǐng)將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān).
(2)已知在被調(diào)查的學(xué)生中有6名來(lái)自高一(1) 班,其中4名喜歡游泳,現(xiàn)從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求恰有1人喜歡游泳的概率.
附:
0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 /td> | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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