Question

【題目】二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)為，且圖象在軸上截得的線段長(zhǎng)為8.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）令.

（ⅰ）求函數(shù)在上的最小值；

（ⅱ）若時(shí)，不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）(i)分類討論，詳見解析；（ii）.

【解析】

（1）先設(shè)二次函數(shù)為頂點(diǎn)式，然后根據(jù)其頂點(diǎn)為,可知函數(shù)的解析式為，由圖象在軸上截得的線段長(zhǎng)為8，利用韋達(dá)定理即可解.

（2）（i）先求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)，分類討論函數(shù)的對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，函數(shù)最小值的情況.

（ii）不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上最大值小于等于17，再利用分類討論思想討論a的范圍即可解.

解：（1）由題意設(shè)，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴，∵，

由韋達(dá)定理可得.

∴，

∴，∴

（2），

對(duì)稱軸為，

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)減函數(shù)，

∴；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，

.

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，

在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，∴.

當(dāng)時(shí)，．

∴函數(shù)在上的最小值為.

（ⅱ）①當(dāng)時(shí)，恒成立，只需，即，顯然成立，∴.

②當(dāng)時(shí)，恒成立，只需，即，

即，∴.

③當(dāng)時(shí)，恒成立，只需，即，

即，這與矛盾，故舍去．

綜上所述，的取值范圍是