Question

【題目】已知函數(shù)。

（Ⅰ）當a=2，求函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f(1) ）處的切線方程；

（Ⅱ）當a>0時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間。

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】【試題分析】（1）先求當時，函數(shù)的導數(shù)，求出切線的斜率，再運用直線的點斜式方程求出切線的方程；（2）先對含參數(shù)的函數(shù)解析式進行求導，再運用分類整合的數(shù)學思想，對實數(shù)進行分類討論函數(shù)的單調性，分別求出其單調區(qū)間：

（1）當時， ，

，

函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.

(2)由題知，函數(shù)的定義域為，

，

令，解得,

（I） 當時，所以，在區(qū)間和上；在區(qū)間上，故函數(shù)的單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是.-

（II）當a=2時，f’(x)>=0 恒成立，故函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是（0，+∞）

（III）當1＜a＜2時，a-1＜1,在區(qū)間（0，a-1），和（1，+∞）上f’(x)>0 ；在（a-1，1）上f’(x)＜0 ，故函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（0，a-1），（1，+∞），單調遞減區(qū)間是（a-1，1）

(IV)當a=1時，f’(x)=x-1, x＞1時f’(x)＞0， x＜1時f’(x)＜0，

函數(shù)的單調遞增區(qū)間是 （1，+∞）， 單調遞減區(qū)間是

（V）當0＜a＜1時，a-1＜0，函數(shù)的單調遞增區(qū)間是 （1，+∞），

單調遞減區(qū)間是,

綜上，（I）時函數(shù)的單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是

(II) a=2時，函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是（0，+∞）-

(III) 當0＜a＜2時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（0，a-1），（1，+∞），單調遞減區(qū)間是（a-1，1）

（IV）當0＜a≤1時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間是 （1，+∞）， 單調遞減區(qū)間是