【題目】已知橢圓的離心率為,過橢圓的焦點且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)點均在橢圓上,點在拋物線上,若的重心為坐標(biāo)原點,且的面積為,求點的坐標(biāo).
【答案】(1);(2),或.
【解析】
(1)運用離心率公式和垂直于軸的弦長公式,以及的關(guān)系解方程可得,進(jìn)而得到所求橢圓的方程;
(2)設(shè),聯(lián)立橢圓方程,運用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式、三角形的重心坐標(biāo)公式,可得的坐標(biāo),代入拋物線方程,結(jié)合三角形的面積公式,計算可得的坐標(biāo).
(1)根據(jù)題意得,又因為,解得,則,
所以橢圓的方程為:;
(2)設(shè),聯(lián)立橢圓方程,可得,
①
設(shè),,
可得,
,
由在拋物線上,可得,
則 ②,
由
,
則
,
可得③,將②代入③整理可得,
解得或,相應(yīng)的或1.
所以,或.
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【題目】已知橢圓方程為,左,右焦點分別為,上頂點為A,是面積為4的直角三角形.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過作直線與橢圓交于P,Q兩點,求面積的最大值.
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【題目】如果方程y|y|=1所對應(yīng)的曲線與函數(shù)y=f(x)的圖象完全重合,那么對于函數(shù)y=f(x)有如下結(jié)論:
①函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減;
②y=f(x)的圖象上的點到坐標(biāo)原點距離的最小值為1;
③函數(shù)f(x)的值域為(﹣∞,2];
④函數(shù)F(x)=f(x)+x有且只有一個零點.
其中正確結(jié)論的序號是_____.
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【題目】如圖,矩形中,,為邊的中點,將繞直線翻轉(zhuǎn)成(平面),為線段的中點,則在翻折過程中,①與平面垂直的直線必與直線垂直;②線段的長恒為③異面直線與所成角的正切值為④當(dāng)三棱錐的體積最大時,三棱錐外接球的體積是.上面說法正確的所有序號是( )
A.①②④B.①③④C.②③D.①④
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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,過點P(1,2)的直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)).以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線l與曲線C相交于M,N兩點,求的值.
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【題目】某省的一個氣象站觀測點在連續(xù)4天里記錄的AQI指數(shù)M與當(dāng)天的空氣水平可見度y(單位:cm)的情況如下表:
M | 900 | 700 | 300 | 100 |
y | 0.5 | 3.5 | 6.5 | 9.5 |
該省某市2019年12月份AQI指數(shù)M的頻數(shù)分布表如下:
M | |||||
頻數(shù) | 3 | 6 | 12 | 6 | 3 |
(1)設(shè),若x與y之間具有線性關(guān)系,試根據(jù)上述數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)王先生在該市開了一家洗車店,洗車店每天的平均收入與AQI指數(shù)的相關(guān)關(guān)系如下表:
M | |||||
日均收入(元) | -2000 | -1000 | 2000 | 6000 | 8000 |
估計王先生的洗車店2019年12月份每天的平均收入.
附參考公式:,其中
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【題目】如圖,橢圓 的左右焦點分別為的、,離心率為;過拋物線焦點的直線交拋物線于、兩點,當(dāng)時, 點在軸上的射影為。連結(jié)并延長分別交于、兩點,連接; 與的面積分別記為, ,設(shè).
(Ⅰ)求橢圓和拋物線的方程;
(Ⅱ)求的取值范圍.
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【題目】如圖所示的幾何體中,四邊形是正方形,四邊形是梯形,,且,,平面平面ABC.
(1)求證:平面平面;
(2)若,,求幾何體的體積.
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【題目】如圖,在四棱錐中,四邊形是直角梯形,,,底面,,,,是的中點.
(1)求證:;
(2)若二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.
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