Question

【題目】已知橢圓E：=1（a＞b＞0）的焦距為2 ， 且該橢圓經(jīng)過點(diǎn)(,)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）經(jīng)過點(diǎn)P（﹣2，0）分別作斜率為k1 ， k2的兩條直線，兩直線分別與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線MN與y軸垂直時，求k1k2的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意得，2c=2，=1；
解得，a2=4，b2=1；
故橢圓E的方程為+y2=1；
（Ⅱ）由題意知，當(dāng)k1=0時，M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，
直線MN與y軸垂直，
則點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為0，
故k2=k1=0，這與k2≠k1矛盾．
當(dāng)k1≠0時，直線PM：y=k1（x+2）；
由得，
（+4）y2﹣=0；
解得，yM=；
∴M（，），
同理N（，），
由直線MN與y軸垂直，則=；
∴（k2﹣k1）（4k2k1﹣1）=0，
∴k2k1=．
【解析】（Ⅰ）由題意得，2c=2 ， =1；從而求橢圓E的方程；
（Ⅱ）由題意知，當(dāng)k1=0時，M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為0，故不成立；當(dāng)k1≠0時，直線PM：y=k1（x+2）；聯(lián)立方程得（+4）y2﹣=0；從而解得yM=；可得M（ ， ），N（ ， ）；從而可得（k2﹣k1）（4k2k1﹣1）=0，從而解得．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．