【題目】設(shè)點P在曲線y=x2上,從原點向A(2,4)移動,如果直線OP,曲線y=x2及直線x=2所圍成的面積分別記為S1、S2.
(1)當(dāng)S1=S2時,求點P的坐標;
(2)當(dāng)S1+S2有最小值時,求點P的坐標和最小值.
【答案】(1),(2),
【解析】
試題(1)可考慮用定積分求兩曲線圍成的封閉圖形面積,直線OP的方程為y=tx,則S1為直線OP與曲線y=x2
當(dāng)x∈(0,t)時所圍面積,所以,S1=∫0t(tx﹣x2)dx,S2為直線OP與曲線y=x2當(dāng)x∈(t,2)時所圍面積,所以,
S2=∫t2(x2﹣tx)dx,再根據(jù)S1=S2就可求出t值.
(Ⅱ)由(2)可求當(dāng)S1+S2,化簡后,為t的三次函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)求最小值,以及相應(yīng)的x值,就可求出P點坐標為多少時,S1+S2有最小值.
試題解析:
(1)設(shè)點P的橫坐標為t(0<t<2),則P點的坐標為(t,t2),
直線OP的方程為y=tx
S1=∫0t(tx﹣x2)dx=,S2=∫t2(x2﹣tx)dx=,
因為S1=S2,,所以t=,點P的坐標為
(2)S=S1+S2==
S′=t2﹣2,令S'=0得t2﹣2=0,t=
因為0<t<時,S'<0;<t<2時,S'>0
所以,當(dāng)t=時,Smin=,P點的坐標為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓 的左焦點為,右頂點為,上頂點為.
(1)已知橢圓的離心率為,線段中點的橫坐標為,求橢圓的標準方程;
(2)已知△外接圓的圓心在直線上,求橢圓的離心率的值.
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【題目】如圖,已知拋物線C:,過拋物線焦點F的直線交拋物線C于A,B兩點,P是拋物線外一點,連接,分別交拋物線于點C,D,且,設(shè),的中點分別為M,N.
(1)求證:軸;
(2)若,求面積的最小值.
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【題目】《算法統(tǒng)宗》全稱《新編直指算法統(tǒng)宗》,是屮國古代數(shù)學(xué)名著,程大位著.書中有如下問題:“今有五人均銀四十兩,甲得十兩四錢,戊得五兩六錢.問:次第均之,乙丙丁各該若干?”意思是:有5人分40兩銀子,甲分10兩4錢,戊分5兩6錢,且相鄰兩項差相等,則乙丙丁各分幾兩幾錢?(注:1兩等于10錢)( )
A.乙分8兩,丙分8兩,丁分8兩B.乙分8兩2錢,丙分8兩,丁分7兩8錢
C.乙分9兩2錢,丙分8兩,丁分6兩8錢D.乙分9兩,丙分8兩,丁分7兩
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【題目】如圖,在棱長為1的正方體中,分別為棱的中點.為面對角線上任一點,則下列說法正確的是( )
A.平面內(nèi)存在直線與平行
B.平面截正方體所得截面面積為
C.直線和所成角可能為60°
D.直線和所成角可能為30°
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【題目】已知橢圓過點,且離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知圓方程為,過圓上任意一點作圓的切線,切線與橢圓交于,兩點,為坐標原點,設(shè)為的中點,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
如圖,已知是以的直角三角形鐵皮,米,分別是邊上不與端點重合的動點,且.現(xiàn)將鐵皮沿折起至的位置,使得平面平面,連接,如圖所示.現(xiàn)要制作一個四棱錐的封閉容器,其中鐵皮和直角梯形鐵皮分別是這個封閉容器的一個側(cè)面和底面,其他三個側(cè)面用相同材料的鐵皮無縫焊接密封而成(假設(shè)制作過程中不浪費材料,且鐵皮厚度忽略不計).
(1)若為邊的中點,求制作三個新增側(cè)面的鐵皮面積是多少平方米?
(2)求這個封閉容器的最大體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖一,在直角梯形中,分別為的三等分點,, ,,,若沿著折疊使得點和重合,如圖二所示,連結(jié).
(1)求證:平面平面;
(2)求點到平面的距離.
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