【題目】如圖一,在直角梯形中,分別為的三等分點,, ,,,若沿著折疊使得點和重合,如圖二所示,連結(jié).
(1)求證:平面平面;
(2)求點到平面的距離.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
取的中點分別為,連結(jié),,可得四邊形為平行四邊形,則,由,利用面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)及判定即可得證.
由,把點到平面的距離轉(zhuǎn)化為點到平面的距離,利用等體積法,通過代數(shù)運算間接求出點到平面的距離即可.
(1)證明:取的中點分別為,連結(jié),如圖,
則且,
又因為且,
所以且,
故四邊形為平行四邊形,
所以.
因為為中點,三角形為等邊三角形,
所以,
因為平面平面,平面平面,
故平面,因為,
所以平面,
又因為平面,
故平面平面;
(2)因為,
又因為平面,平面,
故平面,
故點到平面的距離等于點到平面的距離.
由(1)知三棱錐的體積,
,,
故,
在中,,
取中點,連結(jié),
則,
故,
設(shè)點至平面的距離為,
所以三棱錐的體積,
由于,則,即,
故點到平面的距離為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)點P在曲線y=x2上,從原點向A(2,4)移動,如果直線OP,曲線y=x2及直線x=2所圍成的面積分別記為S1、S2.
(1)當(dāng)S1=S2時,求點P的坐標(biāo);
(2)當(dāng)S1+S2有最小值時,求點P的坐標(biāo)和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了響應(yīng)國家號召,某校組織部分學(xué)生參與了“垃圾分類,從我做起”的知識問卷作答,并將學(xué)生的作答結(jié)果分為“合格”與“不合格”兩類與“問卷的結(jié)果”有關(guān)?
不合格 | 合格 | |
男生 | 14 | 16 |
女生 | 10 | 20 |
(1)是否有90%以上的把握認為“性別”與“問卷的結(jié)果”有關(guān)?
(2)在成績合格的學(xué)生中,利用性別進行分層抽樣,共選取9人進行座談,再從這9人中隨機抽取5人發(fā)送獎品,記拿到獎品的男生人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.703 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年10月5日, 美國NBA火箭隊總經(jīng)理莫雷公開發(fā)布涉港錯誤言論,中國公司與明星紛紛站出來抵制火箭隊,隨后京東、天貓、淘寶等中國電商平臺全線下架了火箭隊的所有商品,當(dāng)天有大量網(wǎng)友關(guān)注此事,某網(wǎng)上論壇從關(guān)注此事跟帖中,隨機抽取了100名網(wǎng)友進行調(diào)查統(tǒng)計,先分別統(tǒng)計他們在跟帖中的留言條數(shù),再把網(wǎng)友人數(shù)按留言條數(shù)分成6組:,,,,,,得到如圖所示的頻率分布直方圖;并將其中留言不低于40條的規(guī)定為“強烈關(guān)注”,否則為“一般關(guān)注”,對這100名網(wǎng)友進一步統(tǒng)計得到列聯(lián)表的部分數(shù)據(jù)如下表:
一般關(guān)注 | 強烈關(guān)注 | 合計 | |
男 | 60 | ||
女 | 5 | 40 | |
合計 | 100 |
(1)補全列聯(lián)表中數(shù)據(jù),并判斷能否有的把握認為網(wǎng)友對此事件是否為“強烈關(guān)注”與性別有關(guān)?
(2)現(xiàn)已從男性網(wǎng)友中分層抽樣選取了6人,再從這6人中隨機選取2人,求這2人中至少有1人屬于“強烈關(guān)注”的概率.
附:,其中.
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方體,點, , 分別是線段, 和上的動點,觀察直線與, 與.給出下列結(jié)論:
①對于任意給定的點,存在點,使得;
②對于任意給定的點,存在點,使得;
③對于任意給定的點,存在點,使得;
④對于任意給定的點,存在點,使得.
其中正確結(jié)論的個數(shù)是( ).
A. 個 B. 個 C. 個 D. 個
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為橢圓上的三個點,為坐標(biāo)原點.
(1)若所在的直線方程為,求的長;
(2)設(shè)為線段上一點,且,當(dāng)中點恰為點時,判斷的面積是否為常數(shù),并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】體溫是人體健康狀況的直接反應(yīng),一般認為成年人腋下溫度T(單位:)平均在之間即為正常體溫,超過即為發(fā)熱.發(fā)熱狀態(tài)下,不同體溫可分成以下三種發(fā)熱類型:低熱:;高熱:;超高熱(有生命危險):.某位患者因患肺炎發(fā)熱,于12日至26日住院治療.醫(yī)生根據(jù)病情變化,從14日開始,以3天為一個療程,分別用三種不同的抗生素為該患者進行消炎退熱.住院期間,患者每天上午8:00服藥,護士每天下午16:00為患者測量腋下體溫記錄如下:
抗生素使用情況 | 沒有使用 | 使用“抗生素A”療 | 使用“抗生素B”治療 | |||||
日期 | 12日 | 13日 | 14日 | 15日 | 16日 | 17日 | 18日 | 19日 |
體溫() | 38.7 | 39.4 | 39.7 | 40.1 | 39.9 | 39.2 | 38.9 | 39.0 |
抗生素使用情況 | 使用“抗生素C”治療 | 沒有使用 | |||||
日期 | 20日 | 21日 | 22日 | 23日 | 24日 | 25日 | 26日 |
體溫() | 38.4 | 38.0 | 37.6 | 37.1 | 36.8 | 36.6 | 36.3 |
(I)請你計算住院期間該患者體溫不低于的各天體溫平均值;
(II)在19日—23日期間,醫(yī)生會隨機選取3天在測量體溫的同時為該患者進行某一特殊項目“a項目”的檢查,記X為高熱體溫下做“a項目”檢查的天數(shù),試求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(III)抗生素治療一般在服藥后2-8個小時就能出現(xiàn)血液濃度的高峰,開始殺滅細菌,達到消炎退熱效果.假設(shè)三種抗生素治療效果相互獨立,請依據(jù)表中數(shù)據(jù),判斷哪種抗生素治療效果最佳,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓:的左、右焦點分別為,,點在橢圓上.
(1)若,點的坐標(biāo)為,求橢圓的方程;
(2)若點橫坐標(biāo)為,點為中點,且,求橢圓的離心率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了調(diào)查某大學(xué)學(xué)生在周日上網(wǎng)的時間,隨機對名男生和名女生進行了不記名的問卷調(diào)查,得到了如下的統(tǒng)計結(jié)果:
表1:男生上網(wǎng)時間與頻數(shù)分布表:
上網(wǎng)時間(分鐘) | |||||
人數(shù) | 5 | 25 | 30 | 25 | 15 |
表2:女生上網(wǎng)時間與頻數(shù)分布表:
上網(wǎng)時間(分鐘) | |||||
人數(shù) | 10 | 20 | 40 | 20 | 10 |
(1)若該大學(xué)共有女生人,試估計其中上網(wǎng)時間不少于分鐘的人數(shù);
(2)完成表3的列聯(lián)表,并回答能否有的把握認為“學(xué)生周日上網(wǎng)時間與性別有關(guān)”?
(3)從表3的男生中“上網(wǎng)時間少于分鐘”和“上網(wǎng)時間不少于分鐘”的人數(shù)中用分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本,再從中任取兩人,求至少有一人上網(wǎng)時間超過分鐘的概率.表3:
上網(wǎng)時間少于60分鐘 | 上網(wǎng)時間不少于60分鐘 | 合計 | |
男生 | |||
女生 | |||
合計 |
附:,其中,
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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