Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，，，.為線段上的點(diǎn).

（I）證明：面

（Ⅱ）若是的中點(diǎn)，求與平面所成的角的正弦值;

（Ⅲ）若滿足面，求二面角正弦值.

Answer 1

【答案】（I）見(jiàn)解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

（I）根據(jù)平面幾何知識(shí)得,由平面得，再根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論，（II）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)垂直關(guān)系得平面一個(gè)法向量，利用向量數(shù)量積得向量與法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果，（Ⅲ）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)線面垂直確定G點(diǎn)坐標(biāo)，列方程組解得平面一個(gè)法向量，利用向量數(shù)量積得兩法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.

（I）取中點(diǎn),因?yàn)?/span>，，

所以

因?yàn)?/span>平面,平面所以，

因?yàn)?/span>平面,平面,,

所以面

（II）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，,平行于的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則因?yàn)?/span>,，所以,因?yàn)?/span>，所以,

因此

從而為平面一個(gè)法向量，

因此與平面所成的角的正弦值為.

（Ⅲ）同（II）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè),

因?yàn)?/span>面，

所以

因?yàn)?/span>為平面一個(gè)法向量，

設(shè)為平面的法向量，

則由得

所以

因此二面角正弦值為