Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，己知圓，且圓被直線截得的弦長(zhǎng)為2.

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若圓的切線在軸和軸上的截距相等，求切線的方程；

（3）若圓上存在點(diǎn)，由點(diǎn)向圓引一條切線，切點(diǎn)為，且滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或或或；（3）

【解析】

（1）將圓方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，可知，得到圓心坐標(biāo)和半徑；由垂徑定理可利用弦長(zhǎng)構(gòu)造出關(guān)于的方程，解方程求得，從而得到標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分為直線過(guò)原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)兩種情況，分別假設(shè)直線方程，利用圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程求得結(jié)果；（3）設(shè)，根據(jù)且可整理出點(diǎn)軌跡方程為：；根據(jù)在圓上，則兩圓有公共點(diǎn)，根據(jù)圓與圓位置關(guān)系的判定可構(gòu)造不等式，解不等式求得結(jié)果.

（1）圓方程可整理為：

圓的圓心坐標(biāo)為，半徑

圓心到直線的距離：

截得的弦長(zhǎng)為：，解得：

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

（2）①若直線過(guò)原點(diǎn)，可假設(shè)直線方程為：，即

直線與圓相切 圓心到直線距離，解得：

切線方程為：

②若直線不過(guò)原點(diǎn)，可假設(shè)直線方程為：，即

圓心到直線距離，解得：或

切線方程為或

綜上所述，切線方程為或或

（3）假設(shè)

，即

又直線與圓相切，切點(diǎn)為

即：，整理得：

又在圓上 兩圓有公共點(diǎn)

，解得：

即的取值范圍為：