【題目】已知函數(shù)f(x)=(x+1)e2x , g(x)=aln(x+1)+ x2+(3﹣a)x+a(a∈R).
(1)當a=9,求函數(shù)y=g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范圍.

【答案】
(1)解:a=9時,g(x)=9ln(x+1)+ x2﹣6x+9,

g′(x)= ,(x>﹣1),

由g′(x)>0,解得:﹣1<x<1或x>2,

由g′(x)<0,解得:1<x<2,

∴g(x)在(﹣1,1)遞增,在(1,2)遞減,在(2,+∞)遞增


(2)解:由f(x)≥g(x),得:(x+1)e2x≥aln(x+1)+ x2+(3﹣a)x+a,

令h(x)=(x+1)e2x﹣aln(x+1)﹣ x2﹣(3﹣a)x﹣a,

①a≥0時,h′(x)=(2x+3)e2x x+(a﹣3),

1°,x=0時,h′(x)=0,

2°,x∈(﹣1,0)時,h′(x)<(2x+3)e2x ﹣2x+(a﹣3)=(2x+3)(e2x﹣1)+a(1﹣ )<0,

3°,x∈(0,+∞)時,h′(x)>(2x+3)e2x ﹣2x+(a﹣3)=(2x+3)(e2x﹣1)+a(1﹣ )>0,

∴h(x)在(﹣1,0)遞減,在(0,+∞)遞增,

∴h(x)的最小值是h(0)=1﹣a,

,解得:0≤a≤1;

②a<0時,x∈(﹣1,0)時,f(x)∈(0,1),即f(x)<1,

而對于函數(shù)g(x),不妨令x=﹣1+ ,

有g(shù)(x)=aln(x+1)+ x2+(3﹣a)x+a>aln(x+1)+2a﹣3=aln(﹣1+ +1)+2a﹣3=1,

故在(﹣1,0)內(nèi)存在﹣1+ ,使得g(x)>f(x),f(x)≥g(x)b不恒成立,

綜上,a的范圍是[0,1]


【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)令h(x)=(x+1)e2x﹣aln(x+1)﹣ x2﹣(3﹣a)x﹣a,通過討論a的范圍,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的具體范圍即可.
【考點精析】認真審題,首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減),還要掌握函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列的前項和為,且 ,在數(shù)列中,,點在直線上.

(1)求數(shù)列,的通項公式;

(2)記,求.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在約束條件 下,當t≥0時,其所表示的平面區(qū)域的面積為S(t),S(t)與t之間的函數(shù)關(guān)系用下列圖象表示,正確的應(yīng)該是(
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某中學對男女學生是否喜愛古典音樂進行了一個調(diào)查,調(diào)查者對學校高三年級隨機抽取了100名學生,調(diào)查結(jié)果如表:

喜愛

不喜愛

總計

男學生

60

80

女學生

總計

70

30

附:K2=

P(K2≥k0

0.100

0.050

0.010

k0

2.706

3.841

6.635


(1)完成如表,并根據(jù)表中數(shù)據(jù),判斷是否有95%的把握認為“男學生和女學生喜歡古典音樂的程度有差異”;
(2)從以上被調(diào)查的學生中以性別為依據(jù)采用分層抽樣的方式抽取10名學生,再從這10名學生中隨機抽取5名學生去某古典音樂會的現(xiàn)場觀看演出,求正好有X個男生去觀看演出的分布列及期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知復(fù)數(shù)z,(m∈R,i是虛數(shù)單位).

(1)若z是純虛數(shù),求m的值;

(2)設(shè)z的共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)+2z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一象限,求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x﹣2|+|x+a|(a∈R).
(1)若a=1時,求不等式f(x)≥4的解集;
(2)若不等式f(x)≤2x的解集為[1,+∞),求a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓過點,且離心率為

)求橢圓的方程.

)已知雙曲線的離心率是橢圓的離心率的倒數(shù),其頂點為橢圓的焦點,求雙曲線的方程.

)設(shè)直線與雙曲線交于, 兩點,過的直線與線段有公共點,求直線的傾斜角的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖所示是某條公共汽車路線收支差額y與乘客量x的圖象(收支差額=車票收入—支出費用)由于目前本條線路在虧損,公司有關(guān)人員提出了兩條建議:

建議(Ⅰ)是不改變車票價格,減少支出費用;建議(Ⅱ)是不改變支出費用,提高車票價格. 圖中虛線表示調(diào)整前的狀態(tài),實線表示調(diào)整后的狀態(tài). 在上面四個圖象中

A. ①反映了建議(),③反映了建議() B. ①反映了建議(),③反映了建議()

C. ②反映了建議(),④反映了建議() D. ④反映了建議(),②反映了建議()

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設(shè)集合,

(1)若,求實數(shù)的值;

(2)若,求實數(shù)的取值范圍

查看答案和解析>>

同步練習冊答案