【題目】如圖所示,某地區(qū)打算在一塊矩形地塊上修建一個牧場(ABCDEF圍成的封閉區(qū)域)用來養(yǎng)殖牛和羊,其中AF=1,AB=10,BC=4,CD=7(單位:百米),DEF是一段曲線形馬路.該牧場的核心區(qū)為等腰直角三角形MPQ所示區(qū)域,該區(qū)域用來養(yǎng)殖羊,其余區(qū)域養(yǎng)殖牛,且MP=PQ,牧場大門位于馬路DEF上的M處,一個觀察點P位于AB的中點處,為了能夠更好觀察動物的生活情況,現決定修建一條觀察通道,起點位于距離觀察點P處1百米的O點所示位置,終點位于Q處.如圖2所示,建立平面直角坐標系,若滿足.
(1)求的解析式;
(2)求觀察通道OQ長度的最小值.
【答案】(1)(2)百米
【解析】
(1)依題意求出點,,,代入解析式即可求解;
(2)過點M,Q分別作x軸的垂線,垂足為,,可得,
再對分類討論,利用導數及二次函數的性質求出最小值;
解:(1)因為AB=10,P是AB的中點,所以AP=5,
又OP=1,所以AO=4,所以,,
因為CD=7,BC=4,AF=1所以,
由得,k=-4,所以.
故,又,所以解得,
所以
(2)過點M,Q分別作x軸的垂線,垂足為,,
則,
又因為PM⊥PQ,所以
所以,又因為PM=PQ,所以,
所以,由,可得,
①若,設,則,
.
令,則
,因為,所以
所以在上單調減,所以
設,則在上單調減
所以,所以
②若,設,則,
,
在上單調遞減,所以時,,
所以OQ的長度的最小值為百米.
答:觀察通道OQ的長度的最小值為百米
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【題目】已知拋物線過點
(1)求拋物線的方程,并求其焦點坐標與準線方程;
(2)直線與拋物線交于不同的兩點,過點作軸的垂線分別與直線,交于,兩點,其中為坐標原點.若為線段的中點,求證:直線恒過定點.
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【題目】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1ABAC2,AB⊥AC,M是棱BC的中點點P在線段A1B上.
(1)若P是線段A1B的中點,求直線MP與直線AC所成角的大;
(2)若是的中點,直線與平面所成角的正弦值為,求線段BP的長度.
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【題目】已知二次函數y=f1(x)的圖象以原點為頂點且過點(1,1),反比例函數y=f2(x)的圖象與直線y=x的兩個交點間距離為8,f(x)= f1(x)+ f2(x).
(Ⅰ) 求函數f(x)的表達式;
(Ⅱ) 證明:當a>3時,關于x的方程f(x)= f(a)有三個實數解.
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【題目】已知圓O:x2+y2=3,直線PA與圓O相切于點A,直線PB垂直y軸于點B,且|PB|=2|PA|.
(1)求點P的軌跡E的方程;
(2)過點(1,0)且與x軸不重合的直線與軌跡E相交于P,Q兩點,在x軸上是否存在定點D,使得x軸是∠PDQ的角平分線,若存在,求出D點坐標,若不存在,說明理由.
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【題目】在直四棱柱中,底面是邊長為6的正方形,點在線段上,且滿足,過點作直四棱柱外接球的截面,所得的截面面積的最大值與最小值之差為,則直四棱柱外接球的半徑為( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,大擺錘是一種大型游樂設備,常見于各大游樂園.游客坐在圓形的座艙中,面向外.通常大擺錘以壓肩作為安全束縛,配以安全帶作為二次保險.座艙旋轉的同時,懸掛座艙的主軸在電機的驅動下做單擺運動.今年五一,小明去某游樂園玩“大擺錘”,他坐在點A處,“大擺錘”啟動后,主軸在平面內繞點O左右擺動,平面與水平地面垂直,擺動的過程中,點A在平面內繞點B作圓周運動,并且始終保持,.已知,在“大擺錘”啟動后,給出下列結論:
①點A在某個定球面上運動;
②線段在水平地面上的正投影的長度為定值;
③直線與平面所成角的正弦值的最大值為;
④與水平地面所成角記為,直線與水平地面所成角記為,當時,為定值.
其中正確結論的個數為( )
A.1B.2C.3D.4
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