【題目】已知二次函數(shù)y=f1(x)的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過點(diǎn)(1,1),反比例函數(shù)y=f2(x)的圖象與直線y=x的兩個(gè)交點(diǎn)間距離為8,f(x)= f1(x)+ f2(x).
(Ⅰ) 求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ) 證明:當(dāng)a>3時(shí),關(guān)于x的方程f(x)= f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解.
【答案】(Ⅰ) f(x)=x2+.(Ⅱ) 見詳解
【解析】
試題(Ⅰ)由已知,設(shè)f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a="1," ∴f1(x)= x2.設(shè)f2(x)=(k>0),它的圖象與直線y=x的交點(diǎn)分別為A(,),B(-,-)
由=8,得k="8,." ∴f2(x)=.故f(x)=x2+.
(Ⅱ) (證法一)f(x)=f(a),得x2+=a2+,
即=-x2+a2+.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出f2(x)=和
f3(x)= -x2+a2+的大致圖象,其中f2(x)的圖象是以坐
標(biāo)軸為漸近線,且位于第一、三象限的雙曲線, f3(x)與的圖象是以(0, a2+)為頂點(diǎn),開口向下的拋物線.因此, f2(x)與f3(x)的圖象在第三象限有一個(gè)交點(diǎn),即f(x)=f(a)有一個(gè)負(fù)數(shù)解.又∵f2(2)="4," f3(2)= -4+a2+,當(dāng)a>3時(shí),. f3(2)-f2(2)= a2+-8>0,當(dāng)a>3時(shí),在第一象限f3(x)的圖象上存在一點(diǎn)(2,f(2))在f2(x)圖象的上方.f2(x)與f3(x)的圖象在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn),即f(x)=f(a)有兩個(gè)正數(shù)解.因此,方程f(x)=f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解.
(證法二)由f(x)=f(a),得x2+=a2+,即(x-a)(x+a-)=0,得方程的一個(gè)解x1=a.方程x+a-=0化為ax2+a2x-8=0,由a>3,△=a4+32a>0,得x2=, x3=,x2<0, x3>0, ∵x1≠ x2,且x2≠ x3.若x1= x3,即a=,則3a2=, a4=4a,得a=0或a=,這與a>3矛盾,∴x1≠ x3.故原方程f(x)=f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓錐的頂點(diǎn)為,底面圓心為,半徑為.
(1)設(shè)圓錐的母線長為,求圓錐的體積;
(2)設(shè),、是底面半徑,且,為線段的中點(diǎn),如圖.求異面直線與所成的角的大。
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【題目】已知函數(shù)若函數(shù)存在5個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn),直線:,點(diǎn)在直線上移動(dòng),是線段與軸的交點(diǎn),過、分別作直線、,使,,.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)已知⊙:,過拋物線上一點(diǎn)作兩條直線與⊙相切于、兩點(diǎn),若直線在軸上的截距為,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)在上的最小值;
(Ⅲ)若, 求使方程有唯一解的的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圓C2:(x-4)2+(y-5)2=4.
(1)若直線l過點(diǎn)A(4,0),且被圓C1截得的弦長為2,求直線l的方程;
(2)設(shè)P為平面上的點(diǎn),滿足:存在過點(diǎn)P的無窮多對(duì)互相垂直的直線l1和l2,它們分別與圓C1和圓C2相交,且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等,試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中, 平面, , , , , 為線段上的點(diǎn).
(1)證明: 平面;
(2)若是的中點(diǎn),求與平面所成的角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若正弦型函數(shù)有如下性質(zhì):最大值為,最小值為;相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為.
(I)求函數(shù)解析式;
(II)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域.
(III)若方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范
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