Question

已知曲線C上動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)F₁(，0)與定直線l₁∶x＝的距離之比為常數(shù).
(1)求曲線C的軌跡方程；
(2)以曲線C的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：(x＋2)²＋y²＝r²(r>0)，設(shè)圓T與曲線C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N，求·的最小值，并求此時(shí)圓T的方程．

Answer 1

（1）＋y²＝1（2）(x＋2)²＋y²＝

(1)過點(diǎn)P作直線的垂線，垂足為D.
，所以該曲線的方程為＋y²＝1.
(2)點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)M(x₁，y₁)，N(x₁，－y₁)，不妨設(shè)y₁>0.由于點(diǎn)M在橢圓C上，所以＝1－.由已知T(－2，0)，則＝(x₁＋2，y₁)，＝(x₁＋2，－y₁)，∴·＝(x₁＋2，y₁)·(x₁＋2，－y₁)＝(x₁＋2)²－＝(x₁＋2)²－＝＋4x₁＋3＝·－.由于－2<x₁<2，故當(dāng)x₁＝－時(shí)，·取得最小值為－.計(jì)算得，y₁＝，故M.
又點(diǎn)M在圓T上，代入圓的方程得到r²＝.故圓T的方程為(x＋2)²＋y²＝