【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x2+aln(x+1)(a為常數(shù))
(Ⅰ)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2 , 且x1<x2 , 求證: .
【答案】解:(Ⅰ)根據(jù)題意知:f′(x)= 在[1,+∞)上恒成立. 即a≥﹣2x2﹣2x在區(qū)間[1,+∞)上恒成立.
∵﹣2x2﹣2x在區(qū)間[1,+∞)上的最大值為﹣4,
∴a≥﹣4;
經(jīng)檢驗(yàn):當(dāng)a=﹣4時(shí), ,x∈[1,+∞).
∴a的取值范圍是[﹣4,+∞).
(Ⅱ) 在區(qū)間(﹣1,+∞)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
即方程2x2+2x+a=0在區(qū)間(﹣1,+∞)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
記g(x)=2x2+2x+a,則有 ,解得 .
∴ , .
∴
令 .
,
記 .
∴ ,
.
在 使得p′(x0)=0.
當(dāng) ,p′(x)<0;當(dāng)x∈(x0 , 0)時(shí),p′(x)>0.
而k′(x)在 單調(diào)遞減,在(x0 , 0)單調(diào)遞增,
∵ ,
∴當(dāng) ,
∴k(x)在 單調(diào)遞減,
即
【解析】(Ⅰ)已知原函數(shù)的值為正,得到導(dǎo)函數(shù)的值非負(fù),從而求出參量的范圍;(Ⅱ)利用韋達(dá)定理,對(duì)所求對(duì)象進(jìn)行消元,得到一個(gè)新的函數(shù),對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)后,再對(duì)導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo),通過(guò)對(duì)導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)導(dǎo)函數(shù)的研究,得到導(dǎo)函數(shù)的最值,從而得到原函數(shù)的最值,即得到本題結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,AB是⊙O的直徑,VA 垂直于⊙O所在的平面,點(diǎn)C是圓周上不同于A,B的任意一點(diǎn),M,N分別為VA,VC的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是( )
A. MN∥AB B. MN與BC所成的角為45°
C. OC⊥平面VAC D. 平面VAC⊥平面VBC
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像經(jīng)如下變換得到:先將圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變),再將所得到的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度.
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式,并求其圖像的對(duì)稱(chēng)軸方程;
(Ⅱ)已知關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解.
(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)證明:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】知雙曲線 ﹣ =1(a>0,b>0),A1、A2是實(shí)軸頂點(diǎn),F(xiàn)是右焦點(diǎn),B(0,b)是虛軸端點(diǎn),若在線段BF上(不含端點(diǎn))存在不同的兩點(diǎn)Pi=(1,2),使得△PiA1A2(i=1,2)構(gòu)成以A1A2為斜邊的直角三角形,則雙曲線離心率e的取值范圍是( )
A.( , )
B.( , )
C.(1, )
D.( ,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為普及高中生安全逃生知識(shí)與安全防護(hù)能力,某學(xué)校高一年級(jí)舉辦了高中生安全知識(shí)與安全逃生能力競(jìng)賽.該競(jìng)賽分為預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段,預(yù)賽為筆試,決賽為技能比賽.先將所有參賽選手參加筆試的成績(jī)(得分均為整數(shù),滿分為100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),制成如下頻率分布表.
分?jǐn)?shù)(分?jǐn)?shù)段) | 頻數(shù)(人數(shù)) | 頻率 |
[60,70) | 9 | x |
[70,80) | y | 0.38 |
[80,90) | 16 | 0.32 |
[90,100) | z | s |
合計(jì) | p | 1 |
(Ⅰ)求出上表中的x,y,z,s,p的值;
(Ⅱ)按規(guī)定,預(yù)賽成績(jī)不低于90分的選手參加決賽,參加決賽的選手按照抽簽方式?jīng)Q定出場(chǎng)順序.已知高一二班有甲、乙兩名同學(xué)取得決賽資格.
①求決賽出場(chǎng)的順序中,甲不在第一位、乙不在最后一位的概率;
②記高一二班在決賽中進(jìn)入前三名的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知.
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值.
(2)若有兩個(gè)極值求實(shí)數(shù)的取值范圍。
(3)若,且,比較與的大小,并說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列判斷錯(cuò)誤的是
A. 若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則;
B. 若組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)都在上,則相關(guān)系數(shù);
C. 若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布: , 則;
D. 是的充分不必要條件;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足,.?dāng)?shù)列滿足,,且.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(2)若,數(shù)列的前項(xiàng)和為,對(duì)任意的,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)是否存在正整數(shù),,使,,()成等差數(shù)列,若存在,求出所有滿足條件的,,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓,圓.
(1)若過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為,求直線的方程;
(2)設(shè)動(dòng)圓同時(shí)平分圓的周長(zhǎng)、圓的周長(zhǎng).
①證明:動(dòng)圓圓心在一條定直線上運(yùn)動(dòng);
②動(dòng)圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)?若經(jīng)過(guò),求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不經(jīng)過(guò),請(qǐng)說(shuō)明理由.
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