【題目】如圖,長為,寬為的矩形紙片中,為邊的中點,將沿直線翻轉(zhuǎn)(平面),若為線段的中點,則在翻轉(zhuǎn)過程中,下列說法錯誤的是( )
A. 平面
B. 異面直線與所成角是定值
C. 三棱錐體積的最大值是
D. 一定存在某個位置,使
【答案】D
【解析】
對于A,延長,交于,連接,運用中位線定理和線面平行的判定定理,可得平面;對于B,運用平行線的性質(zhì)和解三角形的余弦定理,以及異面直線所成角的定義,求出異面直線所成的角;對于C,由題意知平面平面時,三棱錐的體積最大,求出即可;對于D,連接,運用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,可得與垂直,可得結(jié)論;
由題意,對于,延長,交于,連接,由為的中點,
可得為的中點,又為的中點,可得,平面,
平面,則平面,∴正確;
對于,,過作,平面,
則是異面直線與所成的角或所成角的補角,且,
在中,,,
則,
則為定值,即為定值,∴正確;
對于,設(shè)為的中點,連接,由直角三角形斜邊的中線長為斜邊的一半,可得
平面⊥平面時,三棱錐的體積最大,
最大體積為,∴正確;
對于,連接,可得,若,即有平面,
即有,由在平面中的射影為,
可得與垂直,但與不垂直,則不存在某個位置,使,∴錯誤;
故選:D.
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【題目】已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,且acos C+asin C-b-c=0.
(1)求A;
(2)若AD為BC邊上的中線,cos B=,AD=,求△ABC的面積.
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【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)若函數(shù)的圖像在點處的切線與直線平行,求實數(shù)的值;
(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅲ)若在函數(shù)定義域內(nèi),總有成立,試求實數(shù)的最大值.
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【題目】對在直角坐標系的第一象限內(nèi)的任意兩點,作如下定義:,那么稱點是點的“上位點”,同時點是點的“下位點”.
(1)試寫出點的一個“上位點”坐標和一個“下位點”坐標;
(2)設(shè)、、、均為正數(shù),且點是點的上位點,請判斷點是否既是點的“下位點”又是點的“上位點”,如果是請證明,如果不是請說明理由;
(3)設(shè)正整數(shù)滿足以下條件:對任意實數(shù),總存在,使得點既是點的“下位點”,又是點的“上位點”,求正整數(shù)的最小值.
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【題目】某種大型醫(yī)療檢查機器生產(chǎn)商,對一次性購買2臺機器的客戶,推出兩種超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修優(yōu)惠方案:方案一:交納延保金7000元,在延保的兩年內(nèi)可免費維修2次,超過2次每次收取維修費2000元;方案二:交納延保金10000元,在延保的兩年內(nèi)可免費維修4次,超過4次每次收取維修費1000元.某醫(yī)院準備一次性購買2臺這種機器,F(xiàn)需決策在購買機器時應購買哪種延保方案,為此搜集并整理了50臺這種機器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù),得下表:
維修次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 |
臺數(shù) | 5 | 10 | 20 | 15 |
以這50臺機器維修次數(shù)的頻率代替1臺機器維修次數(shù)發(fā)生的概率,記X表示這2臺機器超過質(zhì)保期后延保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù)。
(1)求X的分布列;
(2)以所需延保金及維修費用的期望值為決策依據(jù),醫(yī)院選擇哪種延保方案更合算?
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【題目】已知橢圓與圓:有且僅有兩個公共點,點、、分別是橢圓上的動點、左焦點、右焦點,三角形面積的最大值是.
(1)求橢圓的方程;
(2)若點在橢圓第一象限部分上運動,過點作圓的切線,過點作的垂線,求證:,交點的縱坐標的絕對值為定值.
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【題目】從某公司生產(chǎn)線生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標,由檢測結(jié)果得如圖所示的頻率分布直方圖:
(Ⅰ)求這件產(chǎn)品質(zhì)量指標的樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(Ⅱ)由直方圖可以認為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差.
(i)利用該正態(tài)分布,求;
(ii)已知每件該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為元,每件合格品(質(zhì)量指標值)的定價為元;若為次品(質(zhì)量指標值),除了全額退款外且每件次品還須賠付客戶元。若該公司賣出件這種產(chǎn)品,記表示這件產(chǎn)品的利潤,求.
附:.若,則 .
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【題目】設(shè)等差數(shù)列的公差,前項和為,且滿足,
(1)試尋找一個等差數(shù)列和一個非負常數(shù),使得等式對于任意的正整數(shù)恒成立,并說明你的理由;
(2)對于(1)中的等差數(shù)列和非負常數(shù),試求()的最大值.
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【題目】某市為了解社區(qū)群眾體育活動的開展情況,擬采用分層抽樣的方法從A,B,C三個行政區(qū)抽出6個社區(qū)進行調(diào)查.已知A,B,C行政區(qū)中分別有12,18,6個社區(qū).
(1)求從A,B,C三個行政區(qū)中分別抽取的社區(qū)個數(shù);
(2)若從抽得的6個社區(qū)中隨機的抽取2個進行調(diào)查結(jié)果的對比,求抽取的2個社區(qū)中至少有一個來自A行政區(qū)的概率.
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