Question

【題目】已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，且過(guò)點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若的頂點(diǎn)、在橢圓上， 所在的直線斜率為， 所在的直線斜率為，若，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）2.

【解析】試題分析：(1)根據(jù)橢圓長(zhǎng)軸與短軸的關(guān)系列出一個(gè)方程，再根據(jù)橢圓過(guò)已知點(diǎn)列出一個(gè)方程，解方程組求出a,b,寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)由于OA和OB的斜率乘積為定值，因此OA的斜率為，則OB的斜率可表示為，分別把射線OA、OB的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，得出兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的積，根據(jù)OA、OB方程得出A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的積，從表示出數(shù)量積,再利用基本不等式求出最值.

試題解析：

（1）由題意得解得

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）設(shè)， ，不妨設(shè)， ．

由，∴（），

直線、的方程分別為， ，

聯(lián)立

解得， ．

∵ ，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．

所以的最大值為2．