已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點，且兩條漸近線與以點A(0，)為圓心，1為半徑的圓相切，又知C的一個焦點與A關(guān)于直線y=x對稱.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若Q是雙曲線C上的任一點，F(xiàn)1、F2為雙曲線C的左、右兩個焦點，從F1引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為N，試求點N的軌跡方程.

解析：(1)設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx,即kx-y=0.

∵該直線與圓x2+(y-)2=1相切，

∴雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x.

故設(shè)雙曲線C的方程為=1.

又雙曲線C的一個焦點為(,0)，∴2a2=2,a2=1.

∴雙曲線C的方程為x2-y2=1.

(2)若Q在雙曲線的右支上，則延長QF2到T，使|QT|=|QF1|.

若Q在雙曲線的左支上，則在QF2上取一點T，使|QT|=|QF1|.

根據(jù)雙曲線的定義|TF2|=2，所以點T在以F2(,0)為圓心，2為半徑的圓上，即點T的軌跡方程是(x-)2+y2=4(x≠0).                                                  ①

由于點N是線段F1T的中點，設(shè)N(x,y),T(xT,yT),則即

代入①并整理得點N的軌跡方程為x2+y2=1(x≠-).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•濰坊一模）已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F與雙曲
x2
4
-
y2
5
=1的右焦點重合，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點為K，點A在拋物線上且|AK|=
2
|AF|，則A點的橫坐標(biāo)為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•淮南二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）與雙曲4x2-
4
3
y2=1有相同的焦點，且橢C的離心e=
1
2
，又A，B為橢圓的左右頂點，M為橢圓上任一點（異于A，B）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直MA交直x=4于點P，過P作直線MB的垂線x軸于點Q，Q的坐標(biāo)；
（3）求點P在直線MB上射R的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年龍巖一中沖刺文）（分）已知雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，右準(zhǔn)線為一條漸近線的方程是過雙曲線C的右焦點F2的一條弦交雙曲線右支于P、Q兩點，R是弦PQ的中點.

   （1）求雙曲線C的方程；

   （2）若A、B分別是雙曲C上兩條漸近線上的動點，且2|AB|=|F1F2|，求線段AB的中點M的跡方程，并說明該軌跡是什么曲線。

   （3）若在雙曲線右準(zhǔn)線L的左側(cè)能作出直線m:x=a，使點R在直線m上的射影S滿足，當(dāng)點P在曲線C上運動時，求a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點，且兩條漸近線與以點A (0，)為圓心，1為半徑的圓相切，又知C的一個焦點與A關(guān)于y = x對稱．

    （1）求雙曲線C的方程；

    （2）若Q是雙曲線線C上的任一點，F1，F2為雙曲線C的左、右兩個焦點，從F1引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為N，試求點N的軌跡方程；

    （3）設(shè)直線y = mx + 1與雙曲線C的左支交于A、B兩點，另一直線l經(jīng)過M (–2，0)及AB的中點，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年山東省濰坊市高三3月第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

已知拋物線的焦點F與雙曲的右焦點重合，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點為K，點A在拋物線上且，則A點的橫坐標(biāo)為

A．            B．3                C．            D．4

 

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