【題目】已知拋物線的焦點為,平行于軸的兩條直線分別交于兩點,交的準(zhǔn)線于兩點.
(1)若在線段上, 是的中點,證明: ;
(2)若的面積是的面積的兩倍,求中點的軌跡方程.
【答案】(1)證明見解析;(2) .
【解析】試題分析:(1)設(shè)出與軸平行的兩條直線,然后得出, , , , 的坐標(biāo),然后通過證明直線與直線的斜率相等即可證明結(jié)果;(2)設(shè)與軸的交點為,利用面積可求得,設(shè)的中點為,根據(jù)與軸是否垂直分兩種情況,結(jié)合求解.
試題解析:由題知,設(shè): , : ,則,且, , , , ,記過, 兩點的直線為,則的方程為
(1)由于在線段上,故,
記的斜率為, 的斜率為,則,
∴.
(2)設(shè)與軸的交點為,
則, ,
由題設(shè)得,所以 (舍), .
設(shè)滿足條件的的中點為
當(dāng)與軸不垂直時,由可得
而,所以,
當(dāng)與軸垂直時, 與重合
所以,所求軌跡方程為.
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , Sn=n2+2n,bn=anan+1cos(n+1)π,數(shù)列{bn} 的前n項和為Tn , 若Tn≥tn2對n∈N*恒成立,則實數(shù)t的取值范圍是 .
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【題目】某個體經(jīng)營者把開始六個月試銷A、B兩種商品的逐月投資與所獲純利潤列成下表:
投資A商品金額(萬元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
獲純利潤(萬元) | 0.65 | 1.39 | 1.85 | 2 | 1.84 | 1.40 |
投資B商品金額(萬元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
獲純利潤(萬元) | 0.25 | 0.49 | 0.76 | 1 | 1.26 | 1.51 |
該經(jīng)營者準(zhǔn)備下月投入12萬元經(jīng)營這兩種產(chǎn)品,但不知投入A、B兩種商品各多少才最合算.請你幫助制定一下資金投入方案,使得該經(jīng)營者能獲得最大利潤,并按你的方案求出該經(jīng)營者下月可獲得的最大利潤(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字).
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【題目】已知點是圓:上任意一點,點與點關(guān)于原點對稱,線段的垂直平分線與交于點.
(1)求點的軌跡的方程;
(2)過點的動直線與點的軌跡交于兩點,在軸上是否存在定點使以為直徑的圓恒過這個點?若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.
(1)若A∩B=[0,3],求實數(shù)m的值;
(2)若ARB,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,點E為棱PC的中點.
(1)證明:BE⊥DC;
(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值;
(3)若F為棱PC上一點,滿足BF⊥AC,求二面角F-AB-P的余弦值.
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【題目】已知圓E的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ,以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,取相同單位長度(其中(ρ,θ),ρ≥0,θ∈[0,2π))).
(1)直線l過原點,且它的傾斜角α= ,求l與圓E的交點A的極坐標(biāo)(點A不是坐標(biāo)原點);
(2)直線m過線段OA中點M,且直線m交圓E于B、C兩點,求||MB|﹣|MC||的最大值.
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【題目】某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷兩個時間段進(jìn)行分時計價.該地區(qū)的電網(wǎng)銷售電價表如下:
高峰時間段用電價格表 | 低谷時間段用電價格表 | ||
高峰月用 電量(單 位:千瓦時) | 高峰電價 (單位:元/ 千瓦時) | 低谷月用 電量(單位: 千瓦時) | 低谷電價 (單位:元/ 千瓦時) |
50及以下 的部分 | 0.568 | 50及以下 的部分 | 0.288 |
超過 50 至 200 的部分 | 0.598 | 超過 50 至 200 的部分 | 0.318 |
超過200 的部分 | 0.668 | 超過 200 的部分 | 0.388 |
若某家庭5月份的高峰時間段用電量為 200 千瓦時,低谷時間段用電量為 100 千瓦時,則按這種計費方式該家庭本月應(yīng)付的電費為____________元.(用數(shù)字作答)
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【題目】已知函數(shù)f(x)=()x.
(Ⅰ)當(dāng)x∈[﹣1,1]時,求函數(shù)y=[f(x)]2﹣2af(x)+3的最小值g(a);
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,是否存在實數(shù)m>n>3,使得g(x)的定義域為[n,m],值域為[n2,m2]?若存在,求出m、n的值;若不存在,請說明理由.
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