【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,點E為棱PC的中點.
(1)證明:BE⊥DC;
(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值;
(3)若F為棱PC上一點,滿足BF⊥AC,求二面角F-AB-P的余弦值.
【答案】(1)見解析(2) (3)
【解析】試題分析:(I)以A為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,求出BE,DC的方向向量,根據
,可得BE⊥DC;(II)求出平面PBD的一個法向量,代入向量夾角公式,可得直線BE與平面PBD所成角的正弦值;(Ⅲ)根據BF⊥AC,求出向量的坐標,進而求出平面FAB和平面ABP的法向量,代入向量夾角公式,可得二面角F-AB-P的余弦值
試題解析:方法一:依題意,以點A為原點建立空間直角坐標系(如圖所示),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).C由E為棱PC的中點,得E(1,1,1).
(1)證明:向量=(0,1,1),=(2,0,0),
故=0,
所以BE⊥DC.
(2)向量=(-1,2,0),=(1,0,-2).
設n=(x,y,z)為平面PBD的法向量,
則
不妨令y=1,可得n=(2,1,1)為平面PBD的一個法向量.于是有
===,
所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為.
(3) 向量=(1,2,0),=(-2,-2,2),=(2,2,0),=(1,0,0).
由點F在棱PC上,設=λ,0≤λ≤1.
故=+=+λ=(1-2λ,2-2λ,2λ).由BF⊥AC,得=0,因此2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=,即=.設n1=(x,y,z)為平面FAB的法向量,即不妨令z=1,可得n1=(0,-3,1)為平面FAB的一個法向量.取平面ABP的法向量n2=(0,1,0),則
cos〈n1,n2〉===-.
易知二面角F AB P是銳角,所以其余弦值為.
方法二:(1)證明:如圖所示,取PD中點M,連接EM,AM.由于E,M分別為PC,PD的中點,故EM∥DC,且EM=DC.又由已知,可得EM∥AB且EM=AB,故四邊形ABEM為平行四邊形,所以BE∥AM.
因為PA⊥底面ABCD,故PA⊥CD,而CD⊥DA,從而CD⊥平面PAD.因為AM平面PAD,所以CD⊥AM.又BE∥AM,所以BE⊥CD.
(2)連接BM,由(1)有CD⊥平面PAD,得CD⊥PD.而EM∥CD,故PD⊥EM.又因為AD=AP,M為PD的中點,所以PD⊥AM,可得PD⊥BE,所以PD⊥平面BEM,故平面BEM⊥平面PBD,所以直線BE在平面PBD內的射影為直線BM.而BE⊥EM,可得∠EBM為銳角,故∠EBM為直線BE與平面PBD所成的角.
依題意,有PD=2,而M為PD中點,可得AM=,進而BE=.故在直角三角形BEM中,tan∠EBM===,因此sin∠EBM=,
所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為.
(3)如圖所示,在△PAC中,過點F作FH∥PA交AC于點H.因為PA⊥底面ABCD,所以FH⊥底面ABCD,從而FH⊥AC.又BF⊥AC,得AC⊥平面FHB,因此AC⊥BH.在底面ABCD內,可得CH=3HA,從而CF=3FP.在平面PDC內,作FG∥DC交PD于點G,于是DG=3GP.由于DC∥AB,故GF∥AB,所以A,B,F,G四點共面.由AB⊥PA,AB⊥AD,得AB⊥平面PAD,故AB⊥AG,所以∠PAG為二面角F AB P的平面角.
在△PAG中,PA=2,PG=PD=,∠APG=45°.由余弦定理可得AG=,cos∠PAG=,所以二面角F AB P的余弦值為.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設集合A={x|x2﹣3x+2=0},B={x|x2+2(a﹣1)x+(a2﹣5)=0}
(1)若A∩B={2},求實數a的值;
(2)若A∪B=A,求實數a的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點為,平行于軸的兩條直線分別交于兩點,交的準線于兩點.
(1)若在線段上, 是的中點,證明: ;
(2)若的面積是的面積的兩倍,求中點的軌跡方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某市“網約車”的現行計價標準是:路程在以內(含)按起步價元收取,超過后的路程按元/收取,但超過后的路程需加收的返空費(即單
價為元/).
(1) 將某乘客搭乘一次“網約車”的費用(單位:元)表示為行程,
單位:)的分段函數;
(2) 某乘客的行程為,他準備先乘一輛“網約車”行駛后,再換乘另一輛
“網約車”完成余下行程,請問:他這樣做是否比只乘一輛“網約車”完成全部行程更省錢?請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】(1)求過點P(2,3),且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程.
(2)已知直線l平行于直線4x+3y-7=0,直線l與兩坐標軸圍成的三角形的周長是15,求直線l的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設函數f(x)=ax2+bx+c,且f(1)=-,3a>2c>2b,求證:
(1)a>0,且-3<<-;
(2)函數f(x)在區(qū)間(0,2)內至少有一個零點;
(3)設x1,x2是函數f(x)的兩個零點,則≤|x1-x2|<.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB= ,AF=1,M是線段EF的中點.
(Ⅰ)求證AM∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角A﹣DF﹣B的大。
查看答案和解析>>
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com