Question

【題目】在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，是的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；

（2）設(shè)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到平面距離最大時(shí)，求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）連接與交于，連接，證明即可得證線面平行；

（2）首先證明平面(只要取中點(diǎn)，可證平面，從而得，同理得),因此點(diǎn)到直線的距離即為點(diǎn)到平面的距離，由平面幾何知識(shí)易得最大值，然后可計(jì)算體積．

（1）證明：連接與交于，連接，

因?yàn)?/span>是菱形，所以為的中點(diǎn)，

又因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，

所以，

因?yàn)?/span>平面平面，

所以平面．

（2）解：取中點(diǎn)，連接，

因?yàn)樗倪呅?/span>是菱形，，且，

所以，又，

所以平面，又平面，

所以．

同理可證：，又，

所以平面，

所以平面平面，

又平面平面，

所以點(diǎn)到直線的距離即為點(diǎn)到平面的距離，

過(guò)作直線的垂線段，在所有垂線段中長(zhǎng)度最大為，

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，故點(diǎn)到平面的最大距離為1，

此時(shí)，為的中點(diǎn)，即，

所以，

所以．