Question

【題目】已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），.

（1）若，求的極值；

（2）對(duì)任意都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

（3）對(duì)任意證明：；

Answer 1

【答案】（1）極小值1，無(wú)極大值；（2）（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）設(shè)，對(duì)其求導(dǎo)令，從而得出其導(dǎo)函數(shù)取得正負(fù)的區(qū)間，得出函數(shù)的單調(diào)性，從而求得的極值；

（2）令，求導(dǎo)，令解得討論實(shí)數(shù)的范圍和分別驗(yàn)證不等式是否恒成立，可得出的取值范圍.

（3）令，求導(dǎo)得時(shí),單調(diào)遞增；；有，代換可得證.

（1）設(shè)，令，

所以當(dāng)，，當(dāng)，，

所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

從而當(dāng)時(shí)，取得的極小值，無(wú)極大值；

（2），，令解得

（i）當(dāng)時(shí)，，所以對(duì)所有，；在上是增函數(shù).

所以有，即當(dāng)時(shí)，對(duì)于所有，都有.

（ii）當(dāng)時(shí)，對(duì)于，所以在上是減函數(shù)，

從而對(duì)于有，即，所以當(dāng)時(shí)，不是對(duì)所有的都有成立.

綜上，的取值范圍是；

（3）證明：令，，當(dāng)，，

所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增；；

所以，，

，

所以.