Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

OA

=(2cos2x，1)，

OB

=(1，

3

sin2x+a)（x∈R，a∈R，a是常數(shù)），若y=

OA

•

OB

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式f（x）；
（2）若f（x）的最大值為2，求a的值；
（3）利用（2）的結(jié)論，用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)f（x）在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖，并指出其單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）把

OA

和

OB

的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式，利用向量積的運(yùn)算求得函數(shù)解析式．
（2）利用二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)表示出函數(shù)的最大值，求得a．
（3）利用（2）中的函數(shù)解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間．

解答：解：（1）∵

OA

=(2cos2x，1)，

OB

=(1，

3

sin2x+a)
∴y=

OA

•

OB

=2cos2x+

3

sin2x+a

（2）由（1）得y=2cos2x+

3

sin2x+a
=1+cos2x+

3

sin2x+a
=cos2x+

3

sin2x+a+1
=2(

1

2

cos2x+

3

2

sin2x)+a+1
=2(sin

π

6

cos2x+cos

π

6

sin2x)+a+1
=2sin(2x+

π

6

)+a+1
當(dāng)sin(2x+

π

6

)=1時(shí)，y_max=2+a+1=3+a
又∵y_max=2
∴3+a=2
∴a=-1

（3）由（2）得，y=2sin(2x+

π

6

)
增區(qū)間是：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ](k∈Z)，
減區(qū)間是：[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ](k∈Z)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的最值，二倍角的化簡(jiǎn)求值，平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算．考查了對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用．