Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)f（x）=asinx+bcosx，稱向量

OM

=(a，b)為函數(shù)f（x）的伴隨向量，同時(shí)稱函數(shù)f（x）為向量

OM

的伴隨函數(shù)．記

ON

=(1，

3

)的伴隨函數(shù)為h（x），則使得關(guān)于x的方程h（x）-t=0在[0，

π

2

]內(nèi)恒有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)解的實(shí)數(shù)t的取值范圍是

[

3

，2)

．

Answer 1

分析：由題意可得，h（x）=sinx+

3

cosx=2sin（x+

π

3

），由 0≤x≤

π

2

，可得

π

3

≤x+

π

3

≤

5π

6

．故函數(shù)y=2sinθ，θ∈[

π

3

，

5π

6

]，和函數(shù) y=t有2個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得t的范圍．

解答：解：由題意可得，h（x）=sinx+

3

cosx=2sin（x+

π

3

），由關(guān)于x的方程h（x）-t=0在[0，

π

2

]內(nèi)恒有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)解，
可得函數(shù)h（x）的圖象和直線y=t在[0，

π

2

]內(nèi)恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
由 0≤x≤

π

2

，可得

π

3

≤x+

π

3

≤

5π

6

．
故函數(shù)y=2sinθ，θ∈[

π

3

，

5π

6

]，和函數(shù) y=t有2個(gè)交點(diǎn)，故有

3

≤t＜2，
即t的范圍為[

3

，2），
故答案為[

3

，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)和方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．