Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為（，0）、（，0），點(diǎn)A、N滿足，，過點(diǎn)N且垂直于AF的直線交線段AE于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為C．
（1）求軌跡C的方程；
（2）若軌跡C上存在兩點(diǎn)P和Q關(guān)于直線l：y=k（x+1）（k≠0）對(duì)稱，求k的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，設(shè)直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)R、S，對(duì)點(diǎn)B（1，0）和向量a=（，3k），求取最大值時(shí)直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由，可知N為AF中點(diǎn)．則MN垂直平分AF．從而有=．即可得+=+==＞．根據(jù)橢圓的定義可知，點(diǎn)M的軌跡C是以正E、F為焦點(diǎn)的橢圓，可求橢圓方程（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中點(diǎn)T（x0，y0）．由，兩式相減可及y0=k（x0+1）可求，．由中點(diǎn)T（x0，y0）在橢圓內(nèi)部可求k的范圍（3）將y=k（x+1）（k≠0）代入橢圓中，整理得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-3=0．設(shè)R（x3，y3），S（x4，y4）．則x3+x4=，x3x4=．y3y4=k2（x3+1）（x4+1）=k2（x3+x4+x3x4+1）=，代入已知向量的數(shù)量積可求k，進(jìn)而可求直線方程．
解答：解：（Ⅰ）∵，
∴N為AF中點(diǎn)．
∴MN垂直平分AF．
∴．
∴+=+==＞．
∴點(diǎn)M的軌跡C是以正E、F為焦點(diǎn)的橢圓．…（2分）
∴長半軸，半焦距，
∴b²=a²-c²=1．
∴點(diǎn)M的軌跡方程為．…（2分）
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點(diǎn)T（x，y）．
由兩式相減可得，
∴
∴
又y=k（x+1）
∴，．…（2分）
∵中點(diǎn)T（x，y）在橢圓內(nèi)部，
∴
∴k∈（-1，0）∪（0，1）．
（3）將y=k（x+1）（k≠0）代入橢圓中，整理得（1+3k²）x²+6k²x+3k²-3=0．
設(shè)R（x₃，y₃），S（x₄，y₄）．
則x₃+x₄=，x₃x₄=．
∴y₃y₄=k²（x₃+1）（x₄+1）=k²（x₃+x₄+x₃x₄+1）=…（2分）
∴
=x₃x₄-（x₃+x₄）+1+y₃y₄-3-9k²
==．
當(dāng)且僅當(dāng)，即（0，1）時(shí)等號(hào)成立．
此時(shí)，直線l的方程為y=（x+1）．…（2分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用向量的基本關(guān)系轉(zhuǎn)化線段之間的關(guān)系，利用橢圓的定義求解橢圓的方程，及直線與橢圓的相交關(guān)系的點(diǎn)差法的應(yīng)用，直線與曲線相交關(guān)系中方程方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于綜合性試題