Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，E，F分別為AC，BC的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥平面PAB；

（2）若平面PAC⊥平面ABC，且PA=PC，∠ABC=90°，求證：平面PEF⊥平面PBC．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

試題（1）利用E，F分別是AC，BC的中點(diǎn)，說(shuō)明EF∥AB，通過(guò)直線(xiàn)與平面平行的判定定理直接證明EF∥平面PAB．

（2）證明PE⊥AC，利用平面與平面垂直的判定定理證明PE⊥平面ABC，通過(guò)證明PE⊥BC．EF⊥BC，EF∩PE=E，證明BC⊥平面PEF，然后推出平面PEF⊥平面PBC．

證明：（1）∵E，F分別是AC，BC的中點(diǎn)，∴EF∥AB．

又EF平面PAB，

AB平面PAB，

∴EF∥平面PAB．

（2）在三角形PAC中，∵PA=PC，E為AC中點(diǎn)，

∴PE⊥AC．

∵平面PAC⊥平面ABC，

平面PAC∩平面ABC=AC，

∴PE⊥平面ABC．

∴PE⊥BC．

又EF∥AB，∠ABC=90°，∴EF⊥BC，

又EF∩PE=E，

∴BC⊥平面PEF．

∴平面PEF⊥平面PBC．