【題目】如圖①，已知矩形ABCD滿足AB=5，，沿平行于AD的線段EF向上翻折（點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在線段CD上運(yùn)動(dòng)），得到如圖②所示的三棱柱.

⑴若圖②中△ABG是直角三角形，這里G是線段EF上的點(diǎn)，試求線段EG的長(zhǎng)度x的取值范圍；

⑵若⑴中EG的長(zhǎng)度為取值范圍內(nèi)的最大整數(shù)，且線段AB的長(zhǎng)度取得最小值，求二面角的值；

⑶在⑴與⑵的條件都滿足的情況下，求三棱錐A-BFG的體積.

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

⑴由題設(shè)條件可知△AEG、△BEG均為直角三角形，

因此，.

由余弦定理.

于是.

.

所以，.

又對(duì)任意，，.

則，故x的取值范圍為.

⑵因?yàn)?/span>AE⊥EF，BE⊥EF，所以∠AEB就是二面角C-EF-D的平面角

又由⑴知EG的長(zhǎng)度x為的最大整數(shù)，因此x=2.

于是，（）.

因此t=2.5時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度取得最小值.

由此得，.

⑶由⑴、⑵知，，，

且.

因?yàn)?/span>AE⊥EF，BE⊥EF，.

所以EF⊥平面EAB，故

.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩人參加某種選拔測(cè)試，在備選的10道題中，甲答對(duì)其中每道題的概率都是，乙能答對(duì)其中的5道題。規(guī)定每次考試都從備選的10道題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測(cè)試，答對(duì)一題加10分，答錯(cuò)一題（不答視為答錯(cuò)）減5分，至少得15分才能入選.

（I）求甲能入選的概率.

（II）求乙得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；

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【題目】設(shè)函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）

A. B.

C. D.

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【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，E，F分別為AC，BC的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥平面PAB；

（2）若平面PAC⊥平面ABC，且PA=PC，∠ABC=90°，求證：平面PEF⊥平面PBC．

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【題目】如圖，A 為橢圓的下頂點(diǎn)，過 A 的直線 l 交拋物線于B、C 兩點(diǎn)，C 是 AB 的中點(diǎn)．

（I）求證：點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是定值；

（II）過點(diǎn)C作與直線 l 傾斜角互補(bǔ)的直線l交橢圓于M、N兩點(diǎn)，求p的值，使得△BMN的面積最大．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù).

（1）若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍；

（2）問是否存在常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長(zhǎng)度為.

（注：區(qū)間 的長(zhǎng)度為）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，且橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最長(zhǎng)距離為．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點(diǎn)P（0，2）的直線l（不過原點(diǎn)O）與橢圓C交于兩點(diǎn)A、B，M為線段AB的中點(diǎn)．

（ⅰ）證明：直線OM與l的斜率乘積為定值；

（ⅱ）求△OAB面積的最大值及此時(shí)l的斜率．

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【題目】自2017年，大連“蝸享出行”正式引領(lǐng)共享汽車，改變?nèi)藗儌鹘y(tǒng)的出行理念，給市民出行帶來了諸多便利該公司購買了一批汽車投放到市場(chǎng)給市民使用據(jù)市場(chǎng)分析，每輛汽車的營運(yùn)累計(jì)收入單位：元與營運(yùn)天數(shù)滿足．

要使?fàn)I運(yùn)累計(jì)收入高于1400元求營運(yùn)天數(shù)的取值范圍；

每輛汽車營運(yùn)多少天時(shí)，才能使每天的平均營運(yùn)收入最大？

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【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)到短軸的端點(diǎn)的距離為，離心率為．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于軸的直線，交直線于點(diǎn)，求證：直線恒過定點(diǎn)．

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